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对EPR佯谬的理解与原文的忠实翻译

读过EPR原文后,对于爱因斯坦如何证明量子力学的不完备性有了一些理解,现将其证明逻辑归纳如下。文末是EPR原文的翻译。

第一步,给出了客观实在(objective reality)和物理概念(physical concept)两者的区别,重点在于前者不依赖于具体理论。随后给出了判断物理理论成功与否的两个标准:正确性和完备性。文章之后的重点就是对量子力学完备性的质疑。

第二步,给出了实在性(reality)条件,指的是如果不干扰系统的情况下,一个物理量的值可以确定性的被预测,那么一定有一个和这个物理量相对应的物理实在要素,也就是说这个物理量有实在性。不过需要注意的是,物理量有确定性的值是物理量有实在性的充分不必要条件,也就是说,一个物理量没有确定性的值也可以具有实在性,确定性和实在性是不同的。实在性中也可以包含概率,比如掷硬币时硬币的正反面,就是概率性的,但掷硬币出现正反面这个物理量是具有实在性的,因为掷硬币不是一个量子力学现象。那掷硬币出现正反面的概率的原因是什么呢?是因为你没有获得全部的信息,如果你获得了全部的信息,一定能知道硬币的正反面。因此,实在性指的是一个物理量从本质上来说能不能被确定性的预测,而不是说某个理论中,或某次实验中能不能被预测,因为这些情况中不能被预测也可能是因为理论不完备或实验信息不够。

第三步,给出了完备性条件(the condition of completeness),指的是如果一个理论是完备的,它一定有对应于物理实在要素的物理量,也就是这些物理量要有实在性,即本质上是可以被预测的。如果是一个完备理论的话,一定能给出具有实在性的物理量的准确的预测值。

第四步,从量子力学基本现象——不对易算子不能同时有确定的值,给出了对于这种现象的解释:或者是(1)量子力学通过波函数的方式对物理实在的描述不完备;或者是(2)对应于两个力学量的算符不对易时,这两个力学量没有同时实在性(simultaneous reality)。首先来理解一下给出的这两个解释是什么意思,(1)量子力学不完备,指的是不对易算子对应的物理量本质上可以同时有确定的值,即这些物理量是具有同时实在性的,只是由于量子力学描述的不完备,它无法给出确定的值,类似于使用不完备的理论来描述掷硬币时,无法预测硬币正反面。(2)对应于两个力学量的算符不对易时,这两个力学量没有同时实在性。这个解释指的是,这两个物理量从本质上说就不能被同时确定,他们没有同时实在性。那么为什么一定要不就是(1)要不就是(2)呢?没有其他解释了吗?爱因斯坦采用反证法,排除了其他的可能,如果(1)和(2)都不是这种现象的原因。那么就是说这两个物理量有同时实在性,也就是它们本质上是可以预测的,那么如果量子力学是完备的,就一定能给出这两个物理量的确定的值,而这和在量子力学中观察到的不一致,因此说明了(1)或者(2)是这种现象的原因。

第五步,假定量子力学是完备的,即上述现象的原因不是(1),而应该是(2)。那么爱因斯坦证明,通过假定量子力学是完备的,无法得到解释(2)。证明过程如下:首先构造了两个粒子整体的波包,然后将粒子分离,杜绝之间有任何相互作用,通过量子力学,得出了只要对第一个粒子的动量和坐标进行测量,就可以准确预测第二个粒子的动量和坐标值,而且由于两个粒子没有相互作用,第一个粒子的测量不会影响第二个粒子,所以我们在不干扰第二个粒子的情况下得知了第二个粒子的动量和坐标值,根据实在性条件,说明了动量和坐标具有实在性,而且是同一个物理实在(第二个粒子),也就说明了它们具有同时实在性,从而和(2)矛盾,进而得出结论,量子力学是完备的这个假定不对,量子力学是不完备的。

爱因斯坦的厉害之处在于,他自己给出了推翻上述量子力学不完备的证明过程的入手点:第二个粒子的坐标和动量不是同时确定的。爱因斯坦考虑到两个粒子没有相互作用,所以就算不是同时确定坐标动量,它们也还是有同时实在性的,因为他认为第二个粒子的物理量的实在性不依赖于第一个粒子受到的测量,也就是第二个粒子的状态不受到与其无相互作用的第一个粒子的影响。然而,自然界确实没有站在爱因斯坦这一边,但爱因斯坦通过对量子力学完备性的质疑,却推动了整个量子力学的发展。

可以说,1935年爱因斯坦在发表EPR原文时,并没有提及纠缠等概念,而现在大家所熟知的“薛定谔的猫”,“鬼魅的超距作用”等概念,则是爱因斯坦,薛定谔等人在反击波尔等人所支持的“第二个粒子的实在性依赖于第一个粒子受到的测量”的观点时提出的。而正是这些争论,促使“不可分态”、“纠缠态”、“导引态”等概念的提出,进而促进了现在的超密编码,量子计算,量子通信的蓬勃发展。

 

EPR原文翻译

量子力学对于物理实在的描述是完备的吗?

1.

对于任何一个物理理论,都必须严格的区分客观实在(objective reality)和物理概念(physical concept),前者独立于理论本身,而后者依赖于所使用的理论。这些物理概念都应该对应着客观实在,也正是通过这些物理概念我们才可以了解客观实在。

为了判断一个物理理论的成功与否,我们或许应该问自己两个问题:(1)理论是否正确?(2)这个理论给出的描述是否完备(complete)?只有当这两个问题都得到了肯定的答复时,我们才会对这个理论给出的概念表示满意。理论的正确性可以通过物理理论给出的结论和人类经验(human experience)的符合程度进行判断。所谓的人类经验,在物理学上,其表现形式为实验以及测量,通过这种经验,人类可以对客观实在作出推论。我们这篇文章想要考虑的,正是量子力学对于第二个问题的答案。

完备(complete)这个术语到底是什么意义呢,至少对于一个完备的理论来说,下面的一个要求它必须满足:每一个物理实在要素都必须在这个物理理论中找到对应物(every element of the physical reality must have a counter-part in the physical theory)。我们将这个要求称为完备性条件(the condition of completeness)。因此,第二个问题就很容易回答了,只要我们能够找到这些物理实在要素。

物理实在要素不能通过哲学上的先验考虑加以确定,它们只能通过实验以及测量获得。出于我们的目的,我们并不需要实在性(reality)的严格定义。我们更愿意提出一个在我们看来很合理的准则:如果,在不对体系造成任何干扰的情况下,我们能够确定性(概率为一)的预测一个物理量的值,那么一定存在一个对应于这个物理量的物理实在要素。这个准则看起来似乎并不能够给出所有认知物理实在的方法,但当准则中设定的条件发生时,它至少给我们提供了一种认知实在性的方法。这个准则是判断实在性的充分不必要条件,不管是对经典还是量子力学都是适用的。

为了理解提到的这些观点,我们考虑一个具有单自由度粒子的量子力学描述。量子力学里的基本概念是态,它是通过波函数ψ完备刻画的,波函数是由一些可以描述粒子行为的变量构成的函数。对应于每一个物理可观测量A,都有一个以同样符号标记的算符。

如果ψ是算符A的本征函数,也就是说:

EPR

这里a是一个数,当粒子处在由方程(1)给出的态上时,物理量A就有确定性的值a 。根据我们的实在性准则,一个处于由方程(1)描述的态上的粒子,存在一个和物理量A相对应的物理实在要素。举个例子,

2

H是普朗克常数,19是一些常数,x是独立变量。由于量子力学中的动量算符是

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我们可以得出

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因此,方程(2)给出的态,动量有确定的值 19。因此,称由方程(2)所描述的粒子的动量是实在的(real)。

另一方面,如果不再满足方程(1),我们就不能说物理量A有确定值。这种情况对应的是粒子的坐标。对应的算符称作 q ,就是独立变量的乘法运算。因此,

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根据量子力学,我们只能说,粒子的坐标处于位置a和位置b之间的概率为

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由于这个概率不依赖于a而依赖于b-a,我们可以得出坐标的所有可能值是等可能的。

处于由方程(2)描述的态上的粒子,无法预测其坐标的有限值,只能通过直接测量得到。这种测量会扰动粒子并改变它所处的态。当粒子的坐标确定时,粒子就不再处于由方程(2)描述的态上了。从上述的量子力学的现象中可以得出一个结论:当一个粒子的动量确定时,它的坐标就不具有物理实在性。

更一般的,在量子力学中,如果对应于两个力学量的算符A和B不对易,AB≠BA,对其中一个力学量的精确认知会排斥另一个力学量的精确认知。或者说,实验上确定第二个力学量的努力都会以破坏第一个力学量的认知的方式来改变这个体系的态。

上述现象出现的原因,或者是(1)量子力学通过波函数的方式对物理实在的描述不完备;或者是(2)对应于两个力学量的算符不对易时,这两个力学量没有同时实在性(simultaneous reality)。如果说这两个力学量有同时实在性,根据完备性条件,那么这些力学量的有限值就要纳入完备性描述的范围内,如果波函数对实在提供了完备描述,它就应该包含这些力学量的值,那么这些力学量的值应该就是可以预测的。而实际情况并不是这样,我们只能选择替代方案。

在量子力学中,通常假定波函数对于处在一个态上的物理实在有着完备性的描述。看上去,这个假定很合理,因为从波函数中得到的信息似乎正好对应着不扰动体系时可以测量得到的信息。然而,我们将证明,这个假定,结合上面给出的实在性准则,将得出矛盾。

 

2.

让我们假设我们有两个系统Ⅰ和Ⅱ,在t=0到t=T这个时间段内两个系统有相互作用,此后它们两个就不再有任何形式的相互作用。我们进一步假定t=0时刻之前两个系统的态是已知的。我们可以借助于薛定谔方程计算得到随后时刻复合体系的态。我们用 20来指定这个对应的波函数。然而,我们无法计算相互作用后两个系统中任何一个系统所处的态。根据量子力学,只有借助于进一步的测量,也就是波包收缩(reduction of the wave packet),才能确定单独一个系统所处的态。让我们考虑这种过程的本质。

21是与体系Ⅰ有关的物理量A的本征值, 22是对应的本征函数,23 是用来描述第一个系统的的变量。波函数 20作为 23的函数,具有如下表达式:

7

这里 24是用来描述第二个系统的变量。 2520展开到 26上的展开系数。假设现在物理量A有确定的测量值27 。我们可以推论出,测量后第一个系统处于由波函数28 描述的态上,第二个系统一定处于由波函数29 描述的态上。这就是波包的收缩过程,波包由方程(7)所描述的无穷项收缩到了只有 这一项。 这一组函数的选择是由物理量A决定的。如果我们选了其他的物理量,比如B,相应的本征值是32 ,本征函数是33 ,得到类似于方程(7)的展开式:

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此处的 34是新的展开系数。假设现在物理量B有确定的测量值35 ,可以推论出测量后的第一个系统处于由波函数36 描述的态上,第二个系统处于由37 描述的态上。

由此可知,对第一个系统进行不同的测量,会导致第二个系统处于由不同的波函数描述的态上。另一方面,由于测量时两个系统不再有相互作用,第二个系统并不会由于系统一上的任何测量而发生真实的改变。这正是两个系统缺乏相互作用的一种表述。因此,同一个实在(和第一个系统相互作用后的第二个系统)可以有两个不同的波函数(上述例子中的3839 )。

现在,两个不同的波函数3839也可以是分别对应于物理量P和Q的两个非对易算子的本征函数。举一个例子就可以很好的说明这一点。让我们首先假设这两个系统是两个粒子,相应的波函数为

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这里的40 是常数。A取作第一个粒子的动量,正如我们在方程(4)中看到的,它的本征方程是

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对应着本征值p.由于此时的波函数具有连续谱,方程(7)变成

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此时的41 正好是第二个系统动量算子的本征态

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第二个粒子的动量对应的本征值是-p。另一方面,如果B是第一个粒子的坐标,相应的本征态是

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对应的本征值是x , 是著名的狄拉克delta函数。此时的方程(8)变成了

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此时的42 ,是第二个粒子坐标算子的本征函数

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对应的是第二个粒子的坐标本征值x+xo。由于

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我们说明3839 也可以是两个不对易算子的本征函数。

回到方程(7)和(8)所描述的一般结论,我们假设 和 确实是一些非对易算子P和Q的本征函数,相应的本征值是 4344 。因此,通过测量A或者B,我们就可以在不扰动第二个系统的情况下,确定性的预测物理量P的值(43 )或者是物理量Q的值(44 )。根据我们提出的实在性准则,第一种情况下,物理量P可以当做一个物理实在要素;第二种情况下,物理量Q可以当做一个物理实在要素。但正如我们所见,波函数3839 描述的是同一个物理实在。

之前我们证明了,或者是(1)量子力学通过波函数的方式对物理实在的描述不完备;或者是(2)对应于两个力学量的算符不对易时,这两个力学量没有同时实在性(simultaneous reality)。我们从量子力学是完备的这一假设出发,最后得到了有着非对易性的两个物理量具有同时实在性的结论。因此(1)的否定带来了唯一的替代方案的(2)的否定。我们因此得出了量子力学通过波函数对物理实在的描述是不完备的这一结论。

有人不接受这个结论,因为他认为这个结论的得出所基于的实在性条件不够严格。确实,如果一个人坚持两个或多个物理量可以被认作是同时物理实在要素,必须要求这些物理量可以同时被测量或预测,那么他无法得到我们的结论。根据这种观点,由于一次只能预测物理量P和Q中的一个值,无法做到同时预测P和Q的值,这两个物理量就不是同时实在的。这就会导致物理量P和Q的实在性依赖于第一个系统所接受的测量,而这个测量无法通过任何方式影响第二个系统。没有任何一个合理的实在性的定义会接受这样的说法。

至此,我们得出了波函数对于物理实在的描述不完备的结论,那么这样一个完备的描述是否存在呢。我们相信,这样的一种理论是可能的。

 

 

 

 

 

 

参考文献:

1)Einstein A, Podolsky B, Rosen N. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?[J]. Physical review, 1935, 47(10): 777.

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