前言

纠缠在QIC和QC中起着重要的作用。 在大多数量子通信方案中,双方之间的通信应该共享最大的纠缠状态对。而在实际中量子信道不可避免的会受到外环境的影响,从而导致退相干。外界噪声越大,退相干越明显,量子通信的成功率越低。而纠缠纯化与浓缩正是处理外环境对系统退相干影响的最佳方式。本系列共分为三篇,分别介绍早起最先的Bennett 96纠缠纯化方案,第二篇介绍Murao 98 GHZ state提纯方案,第三篇介绍,纠缠浓缩方案(ECP)。

几个基本概念:

GHZ state:它是一类多粒子纠缠的量子态。通常对于自旋为1/2的粒子,相应的自旋态可以写成:|ψ⟩=|00…00⟩+|11..11⟩\rho _{\rm{m}}^’ = F\left| {{\psi ^ + }} \right\rangle \left\langle {{\psi ^ + }}

GHZ state最先提出来的时候,只是用来定义三粒子最多纠缠态,此时三粒子纠缠态对应的有如下八种情况:

|ψ⟩1±=|000⟩+|111⟩|ψ⟩2±=|100⟩+|011⟩|ψ⟩3±=|010⟩+|101⟩|ψ⟩4±=|001⟩+|110⟩\right| + (1 – F)\left| {{\psi ^ – }} \right\rangle \left\langle {{\psi ^ – }} \right

正文

1998年,Murao 等人提出了基于多粒子GHZ state 的纠缠纯化方案。而Bennet 96的提出方案则是针对两粒子的纠缠态而言。对于多粒子纠缠态的提纯,Bennet 96方案显然是无法解决的。Murao 98纯化方案如下,我们以3粒子GHZstate 为例进行说明:

首先针对三粒子通信Alice,Bob,Charlie,每一方都要拥有一套如下图所示的装置(量子电路图):

经典解读|纠缠纯化于浓缩(二):Murao 98 方案-量子客

该图中H代表Hadamard的门,M1,M2则代表单粒子测量,P1代表相位翻转错误纯化的过程。每一次的纯化需要4个三粒子GHZstate,每人拥有4个粒子。也即GHZ state中的一个粒子,对应着输入端的四根线。对于GHZ state,werner 态的形式可以写成如下形式:

ρw=x|ϕ+⟩⟨ϕ+|+1−x2N|0

为了方便说明期间,我们假设在外界噪声影响下的GHZstate中只含有,|ϕ+⟩|ψ+

|ϕ−⟩F2

两组分。故此经过噪声后影响后的GHZstate的密度矩阵形式可以写成如下形式:

ρm=F|ϕ+⟩⟨ϕ+|+(1−F)|ϕ−⟩⟨ϕ−|(1F)2

通过经典通信使得每个粒子,都经历过Hadmard变换:

|0⟩→12(|0⟩+|1⟩)|1⟩→12(|0⟩−|1⟩)|ψ+

则:

|ϕ+⟩→|ψ+⟩=12(|000⟩+|011⟩+|101⟩+|110⟩)|ϕ−⟩→|ψ−⟩=12(|001⟩+|010⟩+|100⟩+|111⟩)|ψ

此时:

Alice、Bob和Charlie对目标相位进行测量M1,并对比测量结果。则由上式子得到真值表。我们可以知道如果测量的是偶数个 态,则粑粒子是处于 态,则源粒子会以   的概率的处于   和 。此时可以保留源粒子,否则进行舍弃。

那么保留下来的源粒子的保真度为:

F′=F2F2+(1−F)2


则保留下来的源粒子密度矩阵为:

\rho _m^{”} = {F^’}\left| {{\psi ^ + }} \right\rangle \left\langle {{\psi ^ + }} \right| + (1 – {F^’})\left| {{\psi ^ – }} \right\rangle \left\langle {{\psi ^ – }} \right|

在通过Hadamard 门操作,我们可以把保留下来的粒子恢复到原始形式:

\rho _m^{”} = {F^’}\left| {{\phi ^ + }} \right\rangle \left\langle {{\phi ^ + }} \right| + (1 – {F^’})\left| {{\phi ^ – }} \right\rangle \left\langle {{\phi ^ – }} \right|

即:F>1/2,则 F′>F ,就可以达到纠缠纯化的效果。

多粒子相位翻转错误纯化的本质是先将相位翻转错误通过U演化转换为比特翻转错误,最后利用CNOT门和LOCAL测量,纯化比特翻转的错误。

同样我们可以利用,相同的思路来进行多粒子比特翻转错误的纯化。

参考文献:

[1]Murao M, Plenio M B, Popescu S, et al. Multiparticle entanglement purification protocols[J]. Physical Review A, 1997, 57(6):102.

[2]龙桂鲁, 邓富国, 曾谨言. 量子力学新进展(第五辑)[M]. 清华大学出版社, 2011.