经典解读|纠缠纯化于浓缩（二）：Murao 98 方案

前言

纠缠在QIC和QC中起着重要的作用。在大多数量子通信方案中，双方之间的通信应该共享最大的纠缠状态对。而在实际中量子信道不可避免的会受到外环境的影响，从而导致退相干。外界噪声越大，退相干越明显，量子通信的成功率越低。而纠缠纯化与浓缩正是处理外环境对系统退相干影响的最佳方式。本系列共分为三篇，分别介绍早起最先的Bennett 96纠缠纯化方案，第二篇介绍Murao 98 GHZ state提纯方案，第三篇介绍，纠缠浓缩方案（ECP）。

几个基本概念：

GHZ state：它是一类多粒子纠缠的量子态。通常对于自旋为1/2的粒子，相应的自旋态可以写成：
$\left| \psi \right\rangle {\rm{ = }}\left| {00...00} \right\rangle + \left| {11..11} \right\rangle$

GHZ state最先提出来的时候，只是用来定义三粒子最多纠缠态，此时三粒子纠缠态对应的有如下八种情况：

$\begin{array}{l} \left| \psi \right\rangle _1^ \pm {\rm{ = }}\left| {000} \right\rangle + \left| {111} \right\rangle \\ \left| \psi \right\rangle _2^ \pm {\rm{ = }}\left| {100} \right\rangle + \left| {011} \right\rangle \\ \left| \psi \right\rangle _3^ \pm {\rm{ = }}\left| {010} \right\rangle + \left| {101} \right\rangle \\ \left| \psi \right\rangle _4^ \pm {\rm{ = }}\left| {001} \right\rangle + \left| {110} \right\rangle \end{array}$

正文

1998年，Murao 等人提出了基于多粒子GHZ state 的纠缠纯化方案。而Bennet 96的提出方案则是针对两粒子的纠缠态而言。对于多粒子纠缠态的提纯，Bennet 96方案显然是无法解决的。Murao 98纯化方案如下，我们以3粒子GHZstate 为例进行说明：

首先针对三粒子通信Alice,Bob,Charlie,每一方都要拥有一套如下图所示的装置（量子电路图）：

该图中H代表Hadamard的门，M1，M2则代表单粒子测量，P1代表相位翻转错误纯化的过程。每一次的纯化需要4个三粒子GHZstate,每人拥有4个粒子。也即GHZ state中的一个粒子，对应着输入端的四根线。对于GHZ state,werner 态的形式可以写成如下形式：

${\rho ^{\rm{w}}} = x\left| {{\phi ^ + }} \right\rangle \left\langle {{\phi ^ + }} \right| + \frac{{1 - x}}{{{2^N}}}$

为了方便说明期间，我们假设在外界噪声影响下的GHZstate中只含有，
$\left| {{\phi ^ + }} \right\rangle$
和
$\left| {{\phi ^ - }} \right\rangle$
两组分。故此经过噪声后影响后的GHZstate的密度矩阵形式可以写成如下形式：

${\rho _m} = F\left| {{\phi ^ + }} \right\rangle \left\langle {{\phi ^ + }} \right| + (1 - F)\left| {{\phi ^ - }} \right\rangle \left\langle {{\phi ^ - }} \right|$

通过经典通信使得每个粒子，都经历过Hadmard变换：

$\left| 0 \right\rangle \to \frac{1}{{\sqrt 2 }}(\left| 0 \right\rangle + \left| 1 \right\rangle )\\ \left| 1 \right\rangle \to \frac{1}{{\sqrt 2 }}(\left| 0 \right\rangle - \left| 1 \right\rangle )$

则：

$\begin{array}{l} \left| {{\phi ^ + }} \right\rangle \to \left| {{\psi ^ + }} \right\rangle = \frac{1}{2}(\left| {000} \right\rangle + \left| {011} \right\rangle + \left| {101} \right\rangle + \left| {110} \right\rangle )\\ \left| {{\phi ^ - }} \right\rangle \to \left| {{\psi ^ - }} \right\rangle = \frac{1}{2}(\left| {001} \right\rangle + \left| {010} \right\rangle + \left| {100} \right\rangle + \left| {111} \right\rangle ) \end{array}$

此时：

$\rho _{\rm{m}}^' = F\left| {{\psi ^ + }} \right\rangle \left\langle {{\psi ^ + }}$

$\right| + (1 - F)\left| {{\psi ^ - }} \right\rangle \left\langle {{\psi ^ - }} \right$

Alice、Bob和Charlie对目标相位进行测量M1，并对比测量结果。则由上式子得到真值表。我们可以知道如果测量的是偶数个 $\left| 0 \right\rangle$ 态，则粑粒子是处于 $\left| {{\psi ^ + }} \right\rangle$ 态，则源粒子会以 ${F^2}$ 和 ${(1 - F)^2}$ 的概率的处于 $\left| {{\psi ^ + }} \right\rangle$ 和 $\left| {{\psi ^ - }} \right\rangle$ 。此时可以保留源粒子，否则进行舍弃。

那么保留下来的源粒子的保真度为：

$F' = \frac{{{F^2}}}{{{F^2} + {{(1 - F)}^2}}}$

则保留下来的源粒子密度矩阵为：

$\rho _m^{''} = {F^'}\left| {{\psi ^ + }} \right\rangle \left\langle {{\psi ^ + }} \right| + (1 - {F^'})\left| {{\psi ^ - }} \right\rangle \left\langle {{\psi ^ - }} \right|$

在通过Hadamard 门操作，我们可以把保留下来的粒子恢复到原始形式：

$\rho _m^{''} = {F^'}\left| {{\phi ^ + }} \right\rangle \left\langle {{\phi ^ + }} \right| + (1 - {F^'})\left| {{\phi ^ - }} \right\rangle \left\langle {{\phi ^ - }} \right|$

即：F>1/2,则 $F' > F$ ,就可以达到纠缠纯化的效果。

多粒子相位翻转错误纯化的本质是先将相位翻转错误通过U演化转换为比特翻转错误，最后利用CNOT门和LOCAL测量，纯化比特翻转的错误。
${\rho _m} \to \rho _m^' = F\left| {{\psi ^ + }} \right\rangle \left\langle {{\psi ^ + }} \right| + (1 - F)\left| {{\psi ^ - }} \right\rangle \left\langle {{\psi ^ - }} \right|$

同样我们可以利用，相同的思路来进行多粒子比特翻转错误的纯化。