经典解读|纠缠纯化与浓缩（一）：Bennett 96 方案

前言

纠缠在QIC和QC中起着重要作用。在大多数量子通信方案中，双方之间的通信应该共享最大的纠缠状态对。而在实际中量子信道不可避免的会受到外环境的影响，从而导致退相干。外界噪声越大，退相干越明显，量子通信的成功率越低。而纠缠纯化与浓缩正是处理外环境对系统退相干影响的最佳方式。本系列共分为三篇，分别介绍早起最先的Bennett 96纠缠纯化方案，第二篇介绍Murao 98 GHZ state提纯方案，第三篇介绍，纠缠浓缩方案（ECP）。

几个基本概念：

纠缠纯化（Entanglement Purificadtion）：通过LOCC手段从部分纠缠态中提取最大纠缠态的过程。

纠缠浓缩（Entanglement concentration) : 如果在纠缠纯化的过程中部分纠缠态为纯态，我们则称之为纠缠浓缩（EC）。

纠缠稀释（Entanglement dilution）：如果在纠缠纯化的过程中部分纠缠态为混态，我们则称之为纠缠稀释（ED）。

正文

1996年，量子密码创始人，美国科学院院士Charles H. Bennett 等人在世界上首次提出基于CNOT门的纠缠纯化方案，发表在1996年的《Phys.Rev.Lett》。该论文主要解决双光子Werner state的纯化问题。在量子信息中Werner state 通常可以写为以下混态形式：

$?_?=?|?^+ 〉〈?^+|+(1−?)/3 (|?^−〉〈?^− |+|?^+ 〉〈?^+ |+|?^−〉〈?^−|)$

上式中：

\[\begin{align}
& \left| {{\phi }^{\pm }} \right\rangle \text{=}\frac{\text{1}}{\sqrt{\text{2}}}{{\left| \text{H} \right\rangle }_{\text{A}}}{{\left| \text{H} \right\rangle }_{\text{B}}}\pm {{\left| \text{V} \right\rangle }_{\text{A}}}{{\left| \text{V} \right\rangle }_{\text{B}}} \\
& \left| {{\psi }^{\pm }} \right\rangle \text{=}\frac{\text{1}}{\sqrt{\text{2}}}{{\left| \text{H} \right\rangle }_{\text{A}}}{{\left| \text{V} \right\rangle }_{\text{B}}}\pm {{\left| \text{V} \right\rangle }_{\text{A}}}{{\left| \text{H} \right\rangle }_{\text{B}}} \\
\end{align}\]

上式中H和V分别表示，光子的两种极化模式（H：水平极化，V：垂直极化。）在实验上，可以通过施加单轴/双轴脉冲，调控不同的粒子的演化。对于通常情况我们设初态为Wener state。通过组合幺正的操作，我们可以得到\[{{B}_{x}},{{B}_{y}},{{B}_{z}}\]三种变换。三种变换的操作形式如下：

$B_x:|ϕ^+ 〉↔|ψ^+ 〉$

$B_y: |ϕ^- 〉↔ |ψ^+ 〉$

$B_z: |ϕ^+ 〉↔ |ϕ^- 〉 $

而对应单轴操作的三个泡利转动形式如下：

\[\begin{align}
& {{\sigma }_{x}}\left| {{\psi }^{\pm }} \right\rangle \to \left| {{\phi }^{\pm }} \right\rangle \\
& {{\sigma }_{y}}\left| {{\psi }^{\pm }} \right\rangle \to \left| {{\psi }^{\mp }} \right\rangle \\
& {{\sigma }_{z}}\left| {{\psi }^{\pm }} \right\rangle \to \left| {{\phi }^{+}} \right\rangle \\
\end{align}\]

此时就可以通过，一系列的单轴操作和双轴操作。使得初态转化成如下形式：

\[{{W}_{F}}=F\left| {{\psi }^{-}} \right\rangle \left\langle {{\psi }^{-}} \right|+\frac{1-F}{3}(\left| {{\phi }^{-}} \right\rangle \left\langle {{\phi }^{-}} \right|+\left| {{\psi }^{+}} \right\rangle \left\langle {{\psi }^{+}} \right|+\left| {{\phi }^{+}} \right\rangle \left\langle {{\phi }^{+}} \right|)\]

因为这一系列的操作都是幺正的，故此转化之后的态，仍然可以通过逆幺正操作还原为初态。

具体的实现步骤分为三步：

<1>.首先A和B分别共享两对Fidelity>0.5的纠缠粒子对：${A_1}{B_1}$与${A_2}{B_2}$。其中${A_1}$，${A_2}$存在A手中，${B_1}$,${B_2}$存在B手中。A，B通过一系列的单轴操作和双轴操作，则可以实现转化后的Werner state.

<2>.其中${A_1}$和${B_1}$可以看做控制比特（实验上可以根据具体的需求进行选择）,${A_2}$和${B_2}$作为目标比特（是我们需要提高纠缠度的粒子对）。然后按照CNOT门作用形式进行操作。此处我们令：\[\begin{align}
& \left| H \right\rangle \to \left| 0 \right\rangle \\
& \left| V \right\rangle \to \left| 1 \right\rangle \\
\end{align}\]

CNOT门实现纠缠纯化原理图

则A和B同步进行CNOT你操作的结果如下式所示：

用CNOT操作，遍历所有AB的组合，我们则会得到一个真值表如下：

<3>A和B分别对目标粒子${A_2}{B_2}$进行Z方向的测量，然后通过经典信道比较测量结果。

1）如果AB测量的极化模式相同，则保留控制比特。如果AB测量极化模式相反则舍弃控制比特。

2）$\left| {{\phi }^{+}} \right\rangle $是A和B共同所期望获得的态。

3）通过分析我们可以得到，当保留下来的态处于$\left| {{\phi }^{+}} \right\rangle $的概率为${{F}^{2}}+\frac{1}{9}{{(1-F)}^{2}}$，保留下来的态处于$\left| {{\phi }^{-}} \right\rangle$的概率为$
\frac{2}{3}F(1-F)$,保留下来的态处于$\left| {{\psi }^{+}} \right\rangle $的概率为$\frac{2}{9}{{(1-F)}^{2}}$,保留下来的态处于$\left| {{\psi }^{-}} \right\rangle $的概率为$\frac{2}{9}{{(1-F)}^{2}}$。故此我们可以得到，当AB测量结果相同而保留下来的控制比特事件的总概率为${{F}^{2}}+\frac{2}{3}F(1-F)+\frac{5}{9}{{(1-F)}^{2}}$。

A，B共同期望想得到的态$\left| {{\phi ^ + }} \right\rangle $的概率为：

\[{{F}^{*}}=\frac{{{F}^{2}}+\frac{1}{9}{{(1-F)}^{2}}}{{{F}^{2}}+\frac{2}{3}F(1-F)+\frac{5}{9}{{(1-F)}^{2}}}\]

也即提纯后的Fidelity为：${{F}^{*}}$。

结论

当被提纯的初始态的Fidelity>0.5,通过上面的CNOT的提纯操作，我们可以得到${{F}^{*}}$>${F}$。也即纠缠纯化的方案是有效的，反之无效。

总结

优点：

为了明晰起见，我们把纯化后的态整理成如下式子：

\[\begin{array}{l}
{\rho ^*} = A\left| {{\phi ^ + }} \right\rangle \left\langle {{\phi ^ + }} \right| + B\left| {{\phi ^ – }} \right\rangle \left\langle {{\phi ^ – }} \right| + C\left| {{\psi ^ + }} \right\rangle \left\langle {{\psi ^ + }} \right| + D\left| {{\psi ^ – }} \right\rangle \left\langle {{\psi ^ – }} \right|\\
\\
A = \frac{1}{N}[{F^2} + \frac{1}{9}{(1 – F)^2}]\\
B = \frac{2}{{3N}}F(1 – F)\\
C = \frac{2}{{9N}}{(1 – F)^2}\\
D = \frac{2}{{9N}}{(1 – F)^2}\\
N = {F^2} + \frac{2}{{3N}}F(1 – F) + \frac{5}{9}{(1 – F)^2}
\end{array}\]

从上式我们可以看出，纯化后的态，不在是一个Werner state.而$\left| {{\phi ^ – }} \right\rangle \left| {{\psi ^ + }} \right\rangle \left| {{\psi ^ – }} \right\rangle $出现的概率会有相应的改变，并不等于$\frac{{(1 – {F^*})}}{3}$。在实验上，A和B可以通过单轴操作和双轴操作，可以把初态变换到想要的Werner state，之后再通过CNOT一系列的筛选和保留控制比特的操作，进一步提高混合纠缠态中的$\left| {{\phi ^ + }} \right\rangle $的保真度。在实验上，我们可以制备许多，控制对（源纠缠），然后通过纠缠纯化方案一步一步的进行迭代。即可以得到高保真度的混合纠缠态。事实上想要得到保真度为1的纠缠态，理论上是需要无穷对源纠缠对，实验上是做不到的。所以在有限的资源下，进行有限次纯化，$\left| {{\phi ^ + }} \right\rangle $态的保真度只能无限接近于1而不能达到1.

缺点：

（1）Bennett96方案，需要CNOT门操作，实验上幺要同时操控两个粒子，并不容易实现；

（2）手续繁琐，每一次纯化都需要把初态经过组合的幺正操作，恢复到Werner state；

（3）纯化效率不高，保留源粒子和抛弃源粒子的概率各占50%，继续往下迭代的时候，资源浪费严重。