话说之前咱们介绍了一个简单的HHL算法的实例(点击HHL算法实验笔记(二)查阅),然后给出了每一步的输出结果。上期结束的时候引出了一个参数r,它有什么作用呢?今天咱们就来介绍下原作者是如何分析这个参数和实验结果的。

实验结果分析

上期的举例来自于HHL算法实验笔记(一)中图2所示的②。

参考文献:

[1] Yudong Cao, Anmer Daskin, Steven Frankel, et al. Quantum circuit design for solving linear systems of equations[J]. Molecular Physics, 2012, 110(15-16):1675-1680.

HHL算法实验笔记(三)-量子客

图1 HHL量子线路实例:HHL算法实验笔记(二)

咱们来看一看,在这个实验中涉及了一个参数r(图1线路图中第一行Ry的一个参数),那么这个r是怎么影响输出结果的呢?请看文献[1]中的FIG.3(如图二所示)。

HHL算法实验笔记(三)-量子客

图二 保真度与概率

  • x'表示本例中输出的解,x是理论上的解;
  • 输出解x'的精度可以用保真度表示;
  • 得到|x'>的概率即是算法成功的概率;
  • 保真度和概率都是关于r的函数。

实验结果

从图中可以看出,当r小于等于4时,fidelity和probability随着r的增大而增大。当$r>4$时,随着r的增加,输出b的精度越来越高,而得到输出解$\mid x'\rangle$的概率越来越小。

这是一个相当有趣的现象。

原因分析

回顾上期介绍的,参数r是在受控旋转门中引入的。

原始目标操作R是:

$R\mid 0\rangle\mid{\frac{1}{j}}\rangle =\frac{1}{j}\mid 1\rangle\mid{\frac{1}{j}}\rangle+\sqrt{1-(\frac{1}{j})^2}\mid 0\rangle\mid \frac{1}{j}\rangle$

该例中采用Ry近似R的操作,Ry使用的是围绕Bloch球y轴的旋转门(Pauli Y),作用于|0>上得到:

$R_y\mid 0\rangle\mid \frac{1}{j}\rangle=\sin(\frac{1}{j})\mid 1\rangle \frac{1}{j}\rangle+\cos(\frac{1}{j})\mid 0\rangle\mid \frac{1}{j}\rangle$

测量附加量子比特得到|1>的概率理论上是$\frac{1}{j}$,本例中实际为$\sin(\frac{1}{j})$。

当$\frac{1}{j}$近似为$\sin(\frac{1}{j})$时,即$\sin(\frac{1}{j})$的值很小时,输出$\mid x'\rangle$的概率就会很低,但可以保证输出很高的精度(保真度)。

从图一中可以看出r值越大,$\sin(\frac{1}{j})$的值就会越小,即呈现出图二所示的趋势。

发散思考

接下来的问题就比较有趣了。在小编看到的几个例子中,均是采用了$\pi/{2^r}$这种形式?这是跟什么相关么?

如果是实验条件的限制,那么如果未来有一天可以没有这种限制了,是不是$\pi/{2^r}$的限制也可以放宽呢?即可以考虑旋转任意角度。

于是小编在此问题的基础上,对自己提出的算法QSVT做了一些改进的实验以及分析。主要不考虑$\theta$近似为$\sin(\theta)$的这个条件,直接从概率和保真度的计算公式入手,去思考是否能够计算出保证高概率和高保真度的$\theta$。

小结

今天咱们继续聊实验了。其实实验里面有很多有趣的现象,大家可以一起讨论。在前面提到的五篇实验的论文中,均是用$R_y$来近似R操作,在这个酉算子的近似中就引入了误差。而这个近似时引入的参数,也直接影响了算法输出解的概率和保真度。除此之外,是否还会有更好的近似酉操作来提高算法的概率和保真度?是否可以通过辅助操作,可以通过一次HHL算法(不需要amplitude amplification)就实现高概率和高保真度?对这个问题感兴趣的小伙伴欢迎一起交流讨论哈~

【小编有话说】终于等到了微信的原创邀请,谢谢大家一直以来的支持。开通了留言功能,对于文中的任何笔误或者观点的错误,大家都可以直接留言指出;也欢迎大家提出自己的建议和意见,非常感谢~

【下期预告】聊完phase estimation和HHL算法,咱们下一个主题来聊一聊另一个非常著名的算法:Grover搜索算法,它对量子机器学习的贡献也是无处不在。比如它的一般化算法amplitude amplification,就常常用来提高各种算法的成功概率。敬请期待~

注:作者:Duan.Bojia (QubitLab)
编辑:Zoe
校对:量豆豆
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