HHL算法实验笔记（三）

上期的举例来自于HHL算法实验笔记（一）中图2所示的②。

图1 HHL量子线路实例：HHL算法实验笔记（二）

咱们来看一看，在这个实验中涉及了一个参数r（图1线路图中第一行Ry的一个参数），那么这个r是怎么影响输出结果的呢？请看文献[1]中的FIG.3（如图二所示）。

图二 保真度与概率

• x’表示本例中输出的解，x是理论上的解；
• 输出解x’的精度可以用保真度表示；
• 得到|x’>的概率即是算法成功的概率；
• 保真度和概率都是关于r的函数。

从图中可以看出，当r小于等于4时，fidelity和probability随着r的增大而增大。当$r>4$时，随着r的增加，输出b的精度越来越高，而得到输出解$\mid x’\rangle$的概率越来越小。

这是一个相当有趣的现象。

回顾上期介绍的，参数r是在受控旋转门中引入的。

原始目标操作R是：

该例中采用Ry近似R的操作，Ry使用的是围绕Bloch球y轴的旋转门（Pauli Y），作用于|0>上得到：

$R_y\mid 0\rangle\mid \frac{1}{j}\rangle=\sin(\frac{1}{j})\mid 1\rangle \frac{1}{j}\rangle+\cos(\frac{1}{j})\mid 0\rangle\mid \frac{1}{j}\rangle$

测量附加量子比特得到|1>的概率理论上是$\frac{1}{j}$，本例中实际为$\sin(\frac{1}{j})$。

当$\frac{1}{j}$近似为$\sin(\frac{1}{j})$时，即$\sin(\frac{1}{j})$的值很小时，输出$\mid x’\rangle$的概率就会很低，但可以保证输出很高的精度（保真度）。

从图一中可以看出r值越大，$\sin(\frac{1}{j})$的值就会越小，即呈现出图二所示的趋势。

接下来的问题就比较有趣了。在小编看到的几个例子中，均是采用了$\pi/{2^r}$这种形式？这是跟什么相关么？

如果是实验条件的限制，那么如果未来有一天可以没有这种限制了，是不是$\pi/{2^r}$的限制也可以放宽呢？即可以考虑旋转任意角度。

于是小编在此问题的基础上，对自己提出的算法QSVT做了一些改进的实验以及分析。主要不考虑$\theta$近似为$\sin(\theta)$的这个条件，直接从概率和保真度的计算公式入手，去思考是否能够计算出保证高概率和高保真度的$\theta$。

今天咱们继续聊实验了。其实实验里面有很多有趣的现象，大家可以一起讨论。在前面提到的五篇实验的论文中，均是用$R_y$来近似R操作，在这个酉算子的近似中就引入了误差。而这个近似时引入的参数，也直接影响了算法输出解的概率和保真度。除此之外，是否还会有更好的近似酉操作来提高算法的概率和保真度？是否可以通过辅助操作，可以通过一次HHL算法（不需要amplitude amplification）就实现高概率和高保真度？对这个问题感兴趣的小伙伴欢迎一起交流讨论哈～

【小编有话说】终于等到了微信的原创邀请，谢谢大家一直以来的支持。开通了留言功能，对于文中的任何笔误或者观点的错误，大家都可以直接留言指出；也欢迎大家提出自己的建议和意见，非常感谢～

【下期预告】聊完phase estimation和HHL算法，咱们下一个主题来聊一聊另一个非常著名的算法：Grover搜索算法，它对量子机器学习的贡献也是无处不在。比如它的一般化算法amplitude amplification，就常常用来提高各种算法的成功概率。敬请期待～

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