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量子计算中的量子力学(四):复合系统假设

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摘要

无论是在经典力学还是在量子力学中,复合系统(Composite Systems)都自然而然地是一个重要的研究对象。人们喜欢这种从整体到部分再到整体的思想,甚至一些重要的数学方法也是体现了复合系统的思想,如积分、求和。复合系统假设在量子力学中也自然而然地成为一条基本假设。量子纠缠性和可分性是复合系统的量子态的性质。

复合系统假设

复合系统假设是对于有多个子系统(Subsystem)组成的复合系统(Composite System)的量子力学假设:

量子计算中的量子力学(四):复合系统假设

复合系统假设是关于复合系统的希尔伯特空间和子系统的希尔伯特空间的关系的假设:孤立的复合系统的量子态所在的希尔伯特空间(态空间)是子系统的量子态所在的希尔伯特空间的直积 (Tensor product)。

这条假设有两个要点:\begin{equation}\begin{split}&\text{1、复合量子系统是孤立系统}\\ &\text{2、复合系统的量子态所在的空间和子系统的态空间是直积的关系}\end{split}\end{equation} 第一点比较好理解,任何的系统都可以通过包含与之发生作用的系统形成大的孤立系统。关于第二个要点,需要注意的是:\begin{equation}\begin{split}&\text{1、态空间的直积不等于量子态的直积}\\ &\text{2、子系统可能是多个粒子,也可能是单个粒子的某个自由度}\end{split}\end{equation}

如图 Fig.1 所示,为单光子通过Beam splitter 之后形成的单光子的路径纠缠(Fock 态表示)。

量子计算中的量子力学(四):复合系统假设
Fig.1. path entanglement of single photon

复合系统的性质

复合量子系统假设是基于量子力学实验,从单量子系统推广而来的。因而对于量子力学前三个假设对于孤立的复合量子系统同样适用,而且多了一些性质:

量子态

如果子系统 $A$ 和 $B$ 的量子态是纯态,且可以写成两部分的直积态 $$|\Psi^{AB}\rangle=|\Psi^{A}\rangle\otimes|\Psi^{B}\rangle,$$那么 $A$ 和 $B$ 处于可分态。相反,如果不能写成两部分的直积态$$|\Psi^{AB}\rangle\neq |\Psi^{A}\rangle\otimes|\Psi^{B}\rangle,$$那么 $A$ 和 $B$ 处于量子纠缠态。如果子系统 $A$ 和 $B$ 的量子态是混合态,$$\rho^{AB}=\sum_i p_i \rho^{AB}_i,$$且对于每一个混态系综中的态都能写成直积态 $\rho^{AB}_i=\rho^{A}_i\otimes\rho^{B}_i$ , 那么 $A$ 和 $B$ 处于可分态。相反,如果 $$\rho^{AB}\neq \sum_i p_i \rho^{A}_i\otimes\rho^{B}_i,$$那么 $A$ 和 $B$ 处于量子纠缠态。其中,$p_i$ 表示第 $i$ 个量子态出现的概率。

量子纠缠态是非局域关联,即当子系统 $A$ 处在某一个状态的时候,与之对应子系统 $B$ 的状态不是完全随机的状态(纠缠度大小有别)。以 Bell 态为例, $$|\Phi^+\rangle_{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)_{AB},$$ 子系统 $A$ 和 $B$ 的量子态处于最大纠缠态,子系统总是处在同样的状态。

量子非局域关联,可以划分为 Bell nonlocality,  EPR steering 和 Entanglement 三种, 如图 Fig. 2 所示。处在 Bell nonlocalality 区域的量子非局域关联最强。

量子计算中的量子力学(四):复合系统假设
Fig.2. Quantum states Classification

量子测量

复合系统的可观测量,此时可以分成两种形式:$\hat{O}^{AB}=\hat{O}^{A}\otimes I^B$ 和 $\hat{O}^{AB}=\hat{O}^{A} \otimes \hat{O}^{B}$ 第一种可观测量只关心某个子系统,另一个系统用 $I_d$ 表示,称为局域可观测量(Local Obserable),对应的测量称为 局域测量 (Local Measurement);第一种可观测量只关心某几个子系统或全部的子系统,称为非局域可观测量(Non-Local Obserable),对应的测量称为 非局域测量 (Non-Local Measurement)

酉演化

孤立系统的演化是幺正的,复合系统的幺正演化页有两种:$\hat{U}^{AB}=\hat{U}^{A}\otimes \hat{U}^{B}$ 和 $\hat{U}^{AB}\neq\hat{U}^{A}\otimes \hat{U}^{B}$ 第一种称为局域幺正演化(Local Unitary evolution),第二种不能写成局域幺正演化的直积称为非局域幺正演化(Non-Local unitary evolution), 如,C-Not gate。

总结

本文介绍了量子力学的最后一个基本假设,同时简单分析了复合量子系统的量子态的性质,量子态的测量以及幺正演化的性质。相比于单量子系统而言,复合量子系统是更加一般的量子系统,对于复合量子系统的研究更具有一般性的意义。从图 Fig.2 量子态的关系图可以看到,量子纠缠态的范围更广,量子纠缠在复合量子系统中是普遍存在的。从实用性而言,量子通讯的完全的安全性证明是基于量子纠缠提纯实现的,量子纠缠在量子计算中也是极其重要的资源,等等,这些都是复合系统的性质的重要应用。因此量子复合系统的研究具有相当重要的意义。

参考资料

《量子力学》,张永德,科学出版社(第三版)。

《Quantum Computation and Quantum Information》, Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang, 清华大学出版社。

《Entangled Systems》 Jürgen Audretsch

作者注:受限于本人对量子力学的认识,如有不当之处,欢迎读者指出。文中图片为作者制作,并已授权Qtumist (量子客) 与量子机器学习(QML)刊登,仅供读者学习查看。

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