量子计算中的量子力学（三）：量子态测量假设

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摘要

量子态是随着时间不断演化的，对于孤立量子系统，根据上一节《量子计算中的量子力学（二）：量子态空间假设及量子态演化假设》中的假设 2 可以知道，它的演化是幺正的。但是，在量子系统演化中，总有一个时刻，我们想要知道量子系统处在什么样的状态。这时候，我们就需要对量子系统进行测量，这个过程和孤立系统便发生了相互作用。原来的系统不再是孤立系统了，测量对原来孤立的量子系统来说不是幺正的演化。那对孤立的量子系统进行测量，产生什么结果呢？

量子态测量假设

物理学是一门基于实验验证的科学，测量是量子力学的最为基础的要素。在量子力学的整个理论和实验中，量子测量是无处不在。因此，对于量子测量的理解一定要透彻。下面给出量子力学中，关于量子测量的假设。

这一条假设共有四个要点：\begin{equation}\begin{split}&\text{1、测量包括一组测量算子： } \{M_m\} \\ &\text{2、单次测量结果是概率性的，不同的结果对应着不同的出现概率}\\&\text{3、测量后的态（post-measurement state）}\\&\text{4、测量满足完备性（completeness）}\end{split}\end{equation}

测量会对系统造成什么样的影响？ 对量子系统进行测量时候，引入了测量设备，测量的时候会对被测量的量子系统产生相互作用。因此，对于原来的幺正演化的孤立系统来讲，其哈密顿量不再是厄米的，演化也不再是幺正的，不再是可逆的。测量结果更是随机的，斩断相干性的。

值得注意的是，因为测量只是获取某一个可观测力学量的性质，因此，对于一个可观测力学量只能获得局部关于原来量子态的信息。若要获取全部量子系统的全部信息，一般需要对量子态做多个可观测力学量的测量，即：进行量子层析（tomography）。

如何量子系统进行多次测量？一般来说，量子测量是不可逆的，测量后的量子态（post-measurement state）与测量前的量子态是斩断相干性。也就是说，测量后的态跟只是测量前的态测量塌缩后的一个态。继续对测量后的态进行测量，显然不能获得测量前的量子态的全部性质。事实上，对量子系统的多次测量，需要制备一个测量前的量子态的系综，单次测量是对系综中的一个测量前的量子态进行测量。每次都测量原量子态的单次测量构成了多次测量。而对整个测量前的量子态系综，测量之后，制备了一个新的混态系综，便是测量后的态按照测量结果的统计规律的一种概率性的混合态。

很多时候，因为测量导致原来孤立量子系统演化的非幺正性，测量可能会导致粒子数不守恒。例如，用 CCD 测量光子时，光子直接被吸收掉了。

下面介绍两种常用的量子测量：von Neumann 正交投影测量、正值算子测量（POVM: positive operator-value measurement）

正交投影测量

投影测量的定义是从可观测量 $M$ 的谱分解给出的。经常地，物理学家通过给出一组正交算子 $\{P_m\}$, 满足关系：$\sum_mP_m=I$ 和 $P_mP_{m’}=\delta_{m,m’}P_m$，来给出正交投影测量。或者，直接说在某一组正交基矢 $\{|m\rangle\}$ 下测量, 此时的投影算子是 $P_m=|m\rangle\langle m|$。

例如，测量可观测量 $Z$, 在 $Z$ 基矢 $\{|0\langle\rangle 0|, |1\langle\rangle 1|\}$ 下测量表示的都是一个意思。假设被测量的量子态是 $|\psi\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle +|1\rangle) $，对可观测量 $Z$ 进行测量时候，得到 $+1$ 的概率是 $\langle \psi|0\rangle \langle 0|\psi\rangle =\frac{1}{2}$, 得到 $-1$ 的概率是 $\langle \psi|1\rangle \langle 1|\psi\rangle =\frac{1}{2}$。

量子测量假设跟投影测量是什么关联？

比较量子测量假设跟投影测量的定义，可以发现，投影测量中的投影算子是可观测力学量的谱分解对应的算子。要求投影算子满足，$P_m P_{m’}=\delta P_m$ 的正交性条件和完备性条件 $\sum_m P_m=I$。而量子测量假设中并没有要求测量算子满足正交性条件，而只是要求测量算子的完备性条件。

事实上，如果将测量设备和被测量量子系统整体当成一个大的孤立系统来看，测量的过程可以用一个幺正演化加上一个整体的投影测量过程，从而实现量子测量假设中的广义的量子测量。

投影测量：整体系统的投影算子表示为： $P_m=I \otimes |m\rangle\langle m|$。测量结果为 $m$ 的概率为：\begin{equation}\begin{split}p(m)&=\langle\psi|\langle 0|U^+ P_m U |\psi\rangle |0\rangle \\&=\sum_{m’,m^{”}}\langle \psi|M^+_{m’}\langle m’|(I\otimes |m\rangle\langle m|)M_{m^{”}}|\psi\rangle|m^{”}\rangle \\&=\langle\psi| M^+_mM_m|\psi\rangle.\end{split} \end{equation} 对应测量结果 $m$ 的测量之后的态是$$\frac{P_mU|\psi\rangle|0\rangle}{\sqrt{\langle\psi|U^+P_mU|\psi\rangle}}=\frac{M_m|\psi\rangle|m\rangle}{\sqrt{\langle\psi|M^+_mM_m\psi\rangle}}.$$ 被测量的系统的测量后的量子态为 $$\frac{M_m|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|M^+_mM_m\psi\rangle}},$$ 这个结果和测量假设中的广义测量结果一致。因此，幺正演化、投影测量、辅助系统一起可以实现任何的广义的量子测量。