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摘要
量子态是随着时间不断演化的，对于孤立量子系统，根据上一节《量子计算中的量子力学（二）：量子态空间假设及量子态演化假设》中的假设 2 可以知道，它的演化是幺正的。但是，在量子系统演化中，总有一个时刻，我们想要知道量子系统处在什么样的状态。这时候，我们就需要对量子系统进行测量，这个过程和孤立系统便发生了相互作用。原来的系统不再是孤立系统了，测量对原来孤立的量子系统来说不是幺正的演化。那对孤立的量子系统进行测量，产生什么结果呢？
量子态测量假设
物理学是一门基于实验验证的科学，测量是量子力学的最为基础的要素。在量子力学的整个理论和实验中，量子测量是无处不在。因此，对于量子测量的理解一定要透彻。下面给出量子力学中，关于量子测量的假设。
这一条假设共有四个要点：\begin{equation}\begin{split}&\text{1、测量包括一组测量算子： } \{M_m\} \\ &\text{2、单次测量结果是概率性的，不同的结果对应着不同的出现概率}\\&\text{3、测量后的态 （post-measurement state）}\\&\text{4、测量满足完备性 （completeness）}\end{split}\end{equation}
测量会对系统造成什么样的影响？ 对量子系统进行测量时候，引入了测量设备，测量的时候会对被测量的量子系统产生相互作用。因此，对于原来的幺正演化的孤立系统来讲，其哈密顿量不再是厄米的，演化也不再是幺正的，不再是可逆的。测量结果更是随机的，斩断相干性的。
值得注意的是，因为测量只是获取某一个可观测力学量的性质，因此，对于一个可观测力学量只能获得局部关于原来量子态的信息。若要获取全部量子系统的全部信息，一般需要对量子态做多个可观测力学量的测量，即：进行量子层析 （tomography）。
如何量子系统进行多次测量？一般来说，量子测量是不可逆的，测量后的量子态 （post-measurement state）与测量前的量子态是斩断相干性。也就是说，测量后的态跟只是测量前的态测量塌缩后的一个态。继续对测量后的态进行测量，显然不能获得测量前的量子态的全部性质。事实上，对量子系统的多次测量，需要制备一个测量前的量子态的系综，单次测量是对系综中的一个测量前的量子态进行测量。每次都测量原量子态的单次测量构成了多次测量。而对整个测量前的量子态系综，测量之后，制备了一个新的混态系综，便是测量后的态按照测量结果的统计规律的一种概率性的混合态。
很多时候，因为测量导致原来孤立量子系统演化的非幺正性，测量可能会导致粒子数不守恒。例如，用 CCD 测量光子时，光子直接被吸收掉了。
下面介绍两种常用的量子测量：von Neumann 正交投影测量、正值算子测量（POVM: positive operator-value measurement）
正交投影测量
投影测量的定义是从可观测量 $M$ 的谱分解给出的。经常地，物理学家通过给出一组正交算子 $\{P_m\}$, 满足关系：$\sum_mP_m=I$ 和 $P_mP_{m’}=\delta_{m,m’}P_m$， 来给出正交投影测量。或者，直接说在某一组正交基矢 $\{|m\rangle\}$ 下测量, 此时的投影算子是 $P_m=|m\rangle\langle m|$。
例如，测量可观测量 $Z$, 在 $Z$ 基矢 $\{|0\langle\rangle 0|, |1\langle\rangle 1|\}$ 下测量表示的都是一个意思。假设被测量的量子态是 $|\psi\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle +|1\rangle) $， 对可观测量 $Z$ 进行测量时候，得到 $+1$ 的概率是 $\langle \psi|0\rangle \langle 0|\psi\rangle =\frac{1}{2}$, 得到 $-1$ 的概率是 $\langle \psi|1\rangle \langle 1|\psi\rangle =\frac{1}{2}$。
量子测量假设跟投影测量是什么关联？
比较量子测量假设跟投影测量的定义，可以发现，投影测量中的投影算子是可观测力学量的谱分解对应的算子。要求投影算子满足，$P_m P_{m’}=\delta P_m$ 的正交性条件和完备性条件 $\sum_m P_m=I$。而量子测量假设中并没有要求测量算子满足正交性条件，而只是要求测量算子的完备性条件。
事实上，如果将测量设备和被测量量子系统整体当成一个大的孤立系统来看， 测量的过程可以用一个幺正演化加上一个整体的投影测量过程，从而实现量子测量假设中的广义的量子测量。
幺正演化： $$U|\psi\rangle|0\rangle= \sum_m M_m |\psi\rangle|m\rangle,$$ 其中，$|0\rangle$ 表示一个量子测量设备的辅助系统，幺正演化过程相当于将原来的量子系统跟测量设备对应的可观测量的本证态纠缠通过起来。$M_m$ 要求满足完备性关系 $\sum_mM_n^+M_m=I$。
投影测量：整体系统的投影算子表示为： $P_m=I \otimes |m\rangle\langle m|$。测量结果为 $m$ 的概率为：\begin{equation}\begin{split}p(m)&=\langle\psi|\langle 0|U^+ P_m U |\psi\rangle |0\rangle \\&=\sum_{m’,m^{”}}\langle \psi|M^+_{m’}\langle m’|(I\otimes |m\rangle\langle m|)M_{m^{”}}|\psi\rangle|m^{”}\rangle \\&=\langle\psi| M^+_mM_m|\psi\rangle.\end{split} \end{equation} 对应测量结果 $m$ 的测量之后的态是$$\frac{P_mU|\psi\rangle|0\rangle}{\sqrt{\langle\psi|U^+P_mU|\psi\rangle}}=\frac{M_m|\psi\rangle|m\rangle}{\sqrt{\langle\psi|M^+_mM_m\psi\rangle}}.$$ 被测量的系统的测量后的量子态为 $$\frac{M_m|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|M^+_mM_m\psi\rangle}},$$ 这个结果和测量假设中的广义测量结果一致。因此，幺正演化、投影测量、辅助系统一起可以实现任何的广义的量子测量。
正值算子测量
量子测量假设的假设 3 关于测量结果和测量后态的两个要点：（1）测量结果的统计规律， （2）测量后的态。假如，我们不关心测量后的态是什么样的，而只关心某种测量结果的概率。这个时候便有一种新的测量, 即，正值算子测量 (POVM)。
从 POVM 的定义中可以看出，POVM 关心的问题是测量结果的概率分布，只要求一组满足完备性的正值算子 $\{E_m\}$，称 $\{E_m\}$ 为 POVM 元。
POVM 因为限制条件少，因而，适用的范围广。上面提到的正交投影测量，就是 POVM 的一个特殊情况。
总结
本次课程作为量子计算的预备知识的第三课，用简单的方式阐述了量子力学的量子测量假设。介绍了两种常用的测量：正交投影测量和POVM。
参考资料
《量子力学》，张永德，科学出版社（第三版）。
《量子信息物理原理》，张永德，科学出版社。
《Quantum Computation and Quantum Information》, Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang, 清华大学出版社。
作者注：受限于本人对量子力学的认识，如有不当之处，欢迎读者指出。并已授权Qtumist (量子客) 与量子机器学习（QML）刊登，仅供读者学习查看。
