量子计算中的量子力学（二）：量子态空间假设及量子态演化假设

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摘要

量子力学的四个基本假设，是整个量子力学的基础。本次量子计算基础知识课程，也主要是围绕着量子力学的的量子态空间假设跟量子态演化假设这两个基本假设展开。

量子态空间假设

对于一个量子系统，它的状态，可能包括其坐标、动量、能量、自旋、偏振等参数。关于量子系统的状态的描述，我们有第一个假设。

量子态空间假设，简单地说，就是：希尔伯特空间中的归一化的矢量，完备地描述了孤立量子系统的状态。这一条假设共有四个要点：\begin{equation}\begin{split}&\text{1、量子系统是孤立系统}\\ &\text{2、系统的状态用态矢量表示}\\&\text{3、态矢量是复內积向量空间的矢量，即希尔伯特空间的矢量}\\&\text{4、态矢量是单位矢量}\end{split}\end{equation}

在希尔伯特空间中，存在一组标准正交基$\{|\psi_i \rangle \}$，空间中的每一个矢量都可以表示为这一组基矢的线性叠加，$$|\psi\rangle=\sum_ia_i|\psi_i\rangle,$$ 其中，$a_i$ 是复数，$\langle\psi|\psi\rangle=\sum_i|a_i|^2=1$。

例如，量子比特是一个两维的量子系统，它的量子态是两维希尔伯特空间中的矢量，表示为标准正交基 $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ 的线性叠加，$$|\psi\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle,$$ 其中，$a$ 和 $b$ 是复数，且 $|a|^2+|b|^2=1$。

孤立量子系统，指的是跟外界没有能量交换和物质交换的量子系统，它的量子态是一个纯态。与之对立的是开放的量子系统，任何的开放量子系统，都可以通过将与之有相互作用的“环境”包含进去，形成一个较大的孤立系统，来进行研究。例如，对于多体量子系统，我们如果之研究其中的一部分系统，这时，这个部分系统便处在一个混合态。

量子态演化假设

量子系统的状态会随着时间的进行而发生演化。现在有关于量子态演化的第二条假设，

量子态演化假设，简单地说，就是：孤立量子系统的状态随时间演化的过程是幺正的。这一条假设共有三个要点：\begin{equation}\begin{split}&\text{1、研究孤立量子系统的演化}\\ &\text{2、系统的状态是随时间发生变化的}\\&\text{3、量子态的演化用一个幺正的时间演化算子描述}\end{split}\end{equation}

在量子态演化的定义中，孤立量子系统的演化算子是个幺正的算子 $U$. 这个幺正算子是怎么与时间相关的呢？这个演化是怎么进行的呢？

一切的物体运动状态的改变，都离不开力的作用，结果就是能量的改变。量子力学对微观粒子运动的研究，从能量角度入手。给定一个孤立的量子系统，它的哈密顿量就是确定的，它的演化是在这个哈密顿量下的演化。作为对上一个定义的补充，给出量子态演化假设的第二个定义

解上面的方程，可以给出 $$U(t_2,t_1)=\exp[\frac{-iH(t_2-t_1)}{\hbar}].$$ 对于厄米的哈密顿量，其时间演化算子 $U(t_2,t_1)$ 是幺正的。不同时刻的量子态，便是通过时间演化算子联系起来的。

思考

对于开放量子系统，它的量子态是什么样的？它的演化是什么样的呢？它的哈密顿量具有什么样的性质呢？这样的系统能给量子计算带来什么样的潜在影响呢？

开放量子系统，因为与环境有能量交换，因此，它的哈密顿量可能会变得很复杂，不再是厄米的。从而，开放量子系统的量子态不再是纯态，不再用态矢量描述，而是用密度矩阵描述。其量子态的演化，可能也不再是幺正的了。例如，

现在的量子信息科学研究，多采用不易于跟环境发生相互作用，或者相互作用可以忽略的量子系统。例如，量子通讯中多采用与环境发生相互作用比较小的光子系统，冷原子研究中多采用与环境相互作用可以忽略的比较重的原子系统，如 $Rb^{87}$。这时候，可以很好地按照我们自己设计的实验装置来操控这些量子系统，从而进行量子信息任务的处理。

但是，开放量子系统的研究也是十分重要的，开放量子系统的非厄米的哈密顿量有可能实现更加快速的量子系统的演化，实现更快速度的量子信息处理的能力。现在也有很多量子信息科学的科学家在研究非厄米的哈密顿量。