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本章节介绍稳定子码（Stabilizer Code）
Shor’s 9 量子比特码
9-qubit 量子码有两个码字基矢是：
\begin{equation}\begin{split}|0\rangle&\rightarrow|\bar{0}\rangle=(|000\rangle+|111\rangle)(|000\rangle+|111\rangle)(|000\rangle+|111\rangle)\\|1\rangle&\rightarrow|\bar{1}\rangle=(|000\rangle-|111\rangle)(|000\rangle-|111\rangle)(|000\rangle-|111\rangle).\end{split}\end{equation} 可以纠正一个量子比特的错误。例如，通过测量 $\sigma_{z1}\sigma_{z2}$ 和 $\sigma_{z1}\sigma_{z3}$ 可以检测前三个量子比特中一个量子比特的 bit-flip 错误。类似的， 测量 $\sigma_{x1}\sigma_{x2}\sigma_{x3}\sigma_{x4}\sigma_{x5}\sigma_{x6}$ 和 $\sigma_{x1}\sigma_{x2}\sigma_{x3}\sigma_{x7}\sigma_{x8}\sigma_{x9}$ 可以检测三个块中一个量子比特的 phase-flip 错误。这样的测量算子总共有 8 个，为了完全地测量单量子比特的错误，需要将这 8 个测量算子全部测量。
两个码字基矢 $|\bar{0}\rangle$ 和 $|\bar{1}\rangle$ 是表 3.1 中 8 个算子的对应 $+1$ 本征值的本征态（因此这 8 个算子也称为固定码字基矢的稳定算子）。错误群 $G$ 中所有固定码字基矢的算子都可以写成这 8 个算子的乘积。所有固定码字基矢的算子构成了一个群 $S$, 称为码字基矢的稳定子群，$M_1$ 到 $M_8$ 称为这个群的生成元。啊喂，等等！$\sigma_y$ 哪去了！原来已经在《Quantum shadow enumerators》中证明，一个复数量子码必然存在一个实数的量子码对应。而 $\sigma_y$ 中有复数，因而不考虑了。
通常来说，if $M\in S$, $\{M, E\}$=0, and $|\psi\rangle \in T$, then $$ME|\psi\rangle=-EM|\psi\rangle=-E|\psi\rangle,$$ $E$ 表示一个错误算子，错误之后的态 $E|\psi\rangle$ 是 $M$ 对应 $-1$ 本征值的本征态。因而，通过测量 $M$ 便可以检测错误 $E$。测量所有的 $M$ 可以将所有的错误类型及出错的位置确定下来，之后便可以采取纠正操作进行纠错。
稳定子码
量子码的稳定子群 $S$ 是错误群 $G$ （不混淆的情况下表示错误群 $G_n$）的 Abelian 子群。编码空间 $T$ 是由稳定子群固定的，即，编码空间的码字矢量均是 $S$ 的元素的 $+1$ 本征值的本征态。对于一个将 $k$ 量子比特编码进 $n$ 量子比特的量子码， 编码空间 $T$ 的维度是 $2^k$, $S$ 的元素个数是 $2^{n-k}$。稳定子群必须是 Abelian， 因为 $$M_1M_2|\psi\rangle=M_2M_1|\psi\rangle=|\psi\rangle, \forall M \in S. $$
稳定子码错误校验 ( Error Syndrome)
错误校验是一个映射， $f_M: G \rightarrow Z_2$,
得到一组长度为 $n-k$ 的二进制数， $f(E)=(f_{M_1}(E), \cdots,f_{M_{n-k}}(E),)$, 其中，$M_1,\cdots,M_{n-k}$ 是稳定子群 $S$ 的生成元。
对稳定子码进行纠错的时候，需要测量每一个 $M_i\in S$, 对应的测量结果为 $(-1)^{f_{M_i}(E)}$, 测量结果作为错误校验结果，给出出错的类型及位置 （对于非简并码可以给出出错的精确信息，对于简并码可以给出出错的位置出错的集合。9 量子比特码就是一类简并码，稳定子的距离为 2 小于稳定子码的距离 3，这时只能给出一个错误集合，但是也能纠正单量子比特错误。）。
总结
本文以 Shor 的 9 量子比特码为例，介绍了稳定子码，稳定子码的错误校验和一些性质。
作者注：本文整理的相关文献已经添加链接，需要的读者可根据链接下载。并已授权Qtumist (量子客) 刊登，仅供读者学习查看。
