Quantum Error Correction Code： Stabilizer Code (一)

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摘要

在上一篇文章《Quantum Error Correction Code： CSS Code》中介绍了量子纠错的重要性，经典线性码以及如何从经典码构造量子码的一种方法。Stabilizer Code 系列文章给大家介绍一种重要的量子纠错码：Stabilizer Code。Gottesman 在他的一篇论文《 Stabilizer Codes and Quantum Error Correction 》中系统地讨论了 Stabilizer code 和 quantum error correction 相关的理论。内容很丰富，本系列将分几篇小文章给大家介绍 Stabilizer Code 以及 quantum error correction。

量子信道

噪声量子信道可以是带噪声量子通讯信道，带噪声的量子计算机的门操作等等。在通过量子信道之后，因为量子比特与环境发生了纠缠，输入的量子纯态会变成一个混态，即错误的纯态的混合。如果我们可以将每一个纯态纠正回原始的输入态，我们就可以纠正整个混态。

简单码

量子码的目的是保护量子比特的信息。假设每次只引起一个量子比特错误的量子信道，如果直接传输单量子比特，一旦发生错误将丢失量子比特包含的所有信息。假设我们将发送的单量子比特编码为 9 比特量子码：\begin{equation}\begin{split}|0\rangle&\rightarrow|\bar{0}\rangle=(|000\rangle+|111\rangle)(|000\rangle+|111\rangle)(|000\rangle+|111\rangle)\\|1\rangle&\rightarrow|\bar{1}\rangle=(|000\rangle-|111\rangle)(|000\rangle-|111\rangle)(|000\rangle-|111\rangle).\end{split}\end{equation} 当发生单量子比特错误之后，可以检验错误比特的位置和类型，并纠正回初始的量子态就避免了错误直接将量子态的信息完全破坏。

单量子比特错误可以表示为 $2\times 2$ 的矩阵。这个矩阵可以分解成 Pauli 基的线性组合 $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\sigma_z$ 和 $I$。$$|\psi\rangle = \alpha|\bar{0}\rangle+\beta|\bar{1}\rangle\rightarrow a\sigma_{xi}|\psi\rangle+b\sigma_{yi}|\psi\rangle+c\sigma_{zi}|\psi\rangle+d|\psi\rangle.$$

量子码的基本性质

将 $k$ 个量子比特编码进 $n$ 个量子比特的量子码有 $2^k$ 个码字基矢（basis codewords）。这些码字基矢的线性叠加也是一个有效的码字。有效码字的空间 $T$ 的维度是 $2^k$ 为 $2^n$ 维度的 Hilbert space 的子空间。

量子信道对量子态引起的错误用一个错误算子描述。对于一个量子码，如果我们可以纠正两个错误 $E$ 和 $F$，那么这两个错误的线性叠加 $aE+bF$ 对应的错误我们也是可以纠正的。因此，对于量子纠错，我们只用考虑可以纠正一组错误的基，便可以纠正这组基下的所有的错误。例如，单量子比特错误基 $\{\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z, I \}$。这些错误基加上因子 $-1$, $\pm i$ 在乘法下构成一个单比特错误的群 $G_1$ （四元数群）。在信道对量子态的每一个量子比特的作用是互相独立的假设下，对于 $n$ 个量子比特对应的错误群 $G_n$ 是单比特错误群 $G_1$ 的直积群。对于任何一个错误算子，算子的 weight 指对应量子比特的位置上的错误不是单位算子 $I$ 的个数。

基于量子力学非正交态不可以有效区分的性质，对于任意两个错误态，$E_a|\psi_i\rangle$ 和 $E_b|\psi_j\rangle$ , 如果要可以可靠地进行纠错，那么必须要求它们满足：$$\langle \psi_i| E_a^+ E_b |\psi_j \rangle =0, i\neq j.$$ 此外，量子纠错在测量错误类型的时候，要求不能获得真实量子态的任何信息，否则将会或坏量子态的相干性。对于任意的码字基矢，要求：$$\langle \psi_i| E_a^+ E_b |\psi_i \rangle =\langle \psi_j| E_a^+ E_b |\psi_j \rangle .$$ 上面两个条件合并之后得到纠错条件：$$\langle \psi_i| E_a^+ E_b |\psi_j \rangle =C_{ab}\delta_{ij},$$ 其中，$C_{ab}$ 是和 $i$, $j$ 无关的数，当然也可以是零。

上面的条件是量子纠错码纠正错误基 $\{E_a\}$ 的充分条件。事实上，上面的条件也是量子纠错码可以成功纠错的必要条件：矩阵 $C_{ab}$ 是厄米矩阵，因而可以对角化，再通过适当放缩，可以将错误基 $\{E_a\}$ 变成一个新的错误基 $\{F_a\}$, 满足纠错条件：\begin{equation}\begin{split}&\langle\psi_i|F_a^+F_b|\psi_j\rangle=\delta_{ab}\delta_{ij},\\ \text{或 } &\langle\psi_i|F_a^+F_b|\psi_j\rangle=0.\end{split}\end{equation}上式中第二类条件中的错误会湮灭任何码字矢量，发生的概率为 0，文中不予考虑。第一类错误总是产生正交态，因而，可以做测量获得错误的类型和错误的位置，并进行纠错。第二类条件中的错误对应两个错误对码字的作用相同。例如对 Shor 的 9 量子比特码，$\sigma_{z1}$, $\sigma_{z2}$ 的作用相同，$\sigma_{z1}-\sigma_{z2}$ 将会湮灭任何码字。这种现象在矩阵 $C_{ab}$ 不是满秩矩阵的时候发生，此时量子码是简并码。

在上面的纠错条件中，$E_a，E_b \in G$, 因而，$E=E_a^+E_b \in G$。$G$ 中满足纠错条件的错误算子 $E$ 的最小 weight 是量子码的距离 (distance)。纠正最多 $t$ 个错误的量子码必须有不小于 $2t+1$ 的距离。将 $k$ 量子比特编码进 $n$ 量子比特的距离为 $d$ 的量子码称为量子的 $[n,k,d]$ 码。