- 量子图像处理及其应用：边缘检测（一）：量子图像处理的研究背景。
- 量子图像处理及其应用：边缘检测（二）：量子图像处理模型及表示方法。
- 量子图像处理及其应用：边缘检测（三）：量子图像基础变换及其时空复杂度。
本期将介绍量子图像基础变换的物理实现，主要基于NMR实验平台验证3个基础的图像变换操作。内容包括以下两个方面：
- 基础知识：量子模拟；核磁共振量子系统。
- 实验验证：量子寄存器的构成；输入数据的制备；酉变换的执行过程；对输出结果的分析。
量子模拟
这里我们了解一下关于量子模拟的基础知识[2]，如下图所示。
【研究背景】用经典系统模拟量子系统需要指数级的资源，因此大规模的量子系统模拟非常困难。而模拟量子系统在各个领域中又有很大的潜在应用价值，因此量子模拟受到越来越多的关注。
【量子模拟方法】通常用一个容易控制的量子系统B来模拟一个不容易控制的量子系统A。量子系统A和B的初态和末态之间存在对应关系；B的初态/末态容易制备/测量，B的哈密顿量演化也容易被控制；此时可以用量子系统B来模拟量子系统A。
核磁共振量子系统
核磁共振：Nuclear Magnetic Resonance，NMR。
我们首先来了解一下NMR的基本原理，如下图所示。
NMR是一种物理实现体系，主要利用了具有磁性的原子核和磁场的相互作用来实现探测。通常单个原子核磁矩的测量较为困难，因此实验往往会采用多个原子核构成的系综来实现。
下图以液体NMR为例对上述过程做一个进一步的解释。大量的分子被溶解在试剂中，作为一个液体样本被放入强磁场中。
整个过程简要描述如下：
- 【初态】热平衡状态下的样本磁矩趋向于外界磁场方向；
- 【操作】施加射频磁场；
- 【演化】射频磁场会使原子核磁矩方向偏离磁场，使原子核开始做进动，从而产生变化的磁场，进一步又诱导出振荡电流；
- 【测量】通过对电流数据的分析，得到整个系综磁矩的信息。
小结
在量子模拟中，常用的一种方法是：通过一个容易实现的量子系统来模拟另外一个不容易实现的量子系统。其中一种物理实现是基于NMR，通过对样品施加射频磁场，分析振荡电流的信息来获取系综的信息。
文献[1]执行图像基础变换的实验验证平台是：基于核自旋（nuclear spin）的量子计算机。
作者选择了一个简单的测试图像，如下图所示的一个4*4的矩阵，该矩阵在图像中是一个棋盘：
量子寄存器的构成
上述矩阵的编码和处理过程需要4个量子比特。作者选择了$C_2F_3I_4$作为一个4-qubit的量子寄存器，其分子结构和相关性质如图3(a)所示。
【图(a)的解释】表中的对角和非对角元素分别表示化学位移(chemical shifts)和J-耦合常数(J-coupling constants, in Hz)。$^{13}C$和$^{19}F$的弛豫时间T1(measured spin-lattice relaxation time)分别是21s和12.5s。根据标准分子中的Larmor频率和化学位移，该例中碳的频率是100.62MHZ，氟的频率是376.48MHZ。
标记$^{19}F_1,^{19}F_2,^{19}F_3$和$^{13}C$分别是第一、二、三和四量子比特。
输入数据的制备
【实验环境】
- 平台：Bruker AV-400 分谱仪
- 温度：305K
- 场强：9.4T
输入数据的准备过程如图3(b)所示。
系统从热平衡态开始，利用线选择（line-selective）的方法来准备“赝纯态”（pseudo-pure state, PPS）:
【第一步】操作$U_PPS1$使除了态$\mid 0000\rangle$外的所有态处于均衡态，随后梯度脉冲场破坏了除 $^{19}F$的同核ZQC(zero quantum coherences)外的所有相干性。
【第二步】执行一个特殊设计的酉操作$U_PPS2$，将剩下的ZQC转变为非ZQC，并被第二梯度脉冲所消除。
输出赝纯态的保真度为98.4%，其中，保真度的定义如下：
【第三步】执行操作$U_{encode}$，将$\mid 0000\rangle$$langle 0000\mid$转变为对应于输入图像的量子态$\rho_{img}=\mid{f_{img}}\rangle\langle{f_{img}}\mid$。
这三个酉操作$U_{PPS1}$，$U_{PPS2}$和$U_{PPS3}$通过GRAPE (Gradient ascent pulse engineering) 实现，且在理论上均达到了99.9%的保真度。
酉变换的执行过程
对于4*4的图像，文献[1]介绍了3个图像变换操作：
通过对上述矩阵的分解，这三个操作的量子线路如图3(c)所示：
其脉冲序列如下图所示（脉冲序列的时间顺序从左到右）：
其中，更近一步的脉冲序列如下图所示：
其中，(d)和(e)的操作算符分别是：
$(d)\qquad{e^{[-i(I_Z^1 I_Z^2+I_Z^3 I_Z^4)\pi}]}\\(e)\qquad{e^{[-i(I_Z^1 I_Z^2+I_Z^3 I_Z^4)\pi/2}]}$
其中图中的各个参数如下：
- $\tau_1=\mid 1/{2J_{34}}\mid$
- $\tau_2=\mid 1/{2J_{12}}-\tau_1=\mid 1/{2J_{34}}$
- $\theta_1=-0.1282\pi,\theta_2=-0.2634\pi,\theta_3=-0.0894\pi$
- $\theta_4=-2\pi\nu_1\tau_2,\theta_4=-2\pi\nu_2\tau_2,\theta_3=\theta_4=-2\pi\nu_3\tau_1$
- $\theta_7=\theta_4/2,\theta_8=\theta_5/2,\theta_9=\theta_6/2$
脉冲序列中的每一个酉旋转操作都通过一个Gaussian selective soft pulse执行。执行编译程序可以增加整体可选脉冲网络(selective pulse network)的保真度。
这个程序能够系统性地调节放射频率(irradiation frequencies)、旋转角度(rotational angles)和选择脉冲传输相位(transmission phases of the selective pulses)，因此相位误差和序列的非期望进化能得到很大的补偿。
对于π refocusing rotations产生的保真度范围在97.2%到99.5%，对于π/2的旋转保真度范围为99.7%到99.9%。
【GRAPE技术提高控制性能】文献[1]采用了GRAPE技术来进一步的提高控制性能。汇编过程产生了一个相对高保真度的整形脉冲，能够作为梯度迭代的一个较好的初值，这时GRAPE能够得到更高的搜索性能。考虑rf脉冲的不完美性，最后的脉冲能有约99.9%的数值保真度。
【实验的脉冲时间】执行Haar, Fourier, Hadamard变换的整个脉冲持续时间分别为： 21.95, 19.86和3.81ms。
【关于$^{19}F$信息的读取】包含$^{13}C$核自旋的样本的自然丰度只有约1%，因此可以用作量子寄存器。也就是说，为了区分包含大量$^{12}C$的核，实验中并不测量$^{19}F$核自旋的信号，而是通过SWAP门将$^{19}F$转换为$^{13}C$，然后通过$^{13}C$的谱读出$^{19}F$的状态信息。因此，四个量子比特的所有信息都可以通过$^{13}C$的谱得到。
对输出结果的分析
文献[1]给出了两种方法来分析输出结果：
- 量子态层析
- 实验谱分析
【量子态层析】文献[1]将Haar wavelet, Fourier和Hadamard变换作用到输入（该例中，输入为2D pattern）中，采用的是rf脉冲。为了检验实验是否得到了正确结果，对输入和输出图像状态执行了量子态层析。与理论密度矩阵相比，输入态和执行相应转换后的图像状态的保真度范围在[0.961, 0.975]之间。
【实验谱分析】除了量子态层析方法，文献[1]还通过实验谱直接重建了量子态$\mid\psi_{expt}\rangle=\sum\nolimits_{k=1}^{16}C_k^{expt}\mid{k}\rangle$。
输入图片和转换后的图像状态通过实验读出，解码后的图片如下图所示。
- 【顶部】表示实验谱；
- 【中部】表示相关测量得到的图像矩阵（只包含实数部分，因为虚数部分相当小），3D柱形图的像素值等于量子态的系数；
- 【底部】表示图像数据的2D灰度图片（视觉识别）。
- 实验和理论数据吻合较好，其中输入图像的欧式距离为$\mid\mid F_{expt}-F_{th}\mid\mid/{\mid\mid F_{th}\mid\mid}\approx0,08$，输出图像的欧式距离在[0.09,0.12]之间。
【小编有话说】感谢易对一些问题的指正。对于本期内容，涉及了很多物理术语及基础概念，篇幅所限，没有进行进一步的展开和描述。如果对这个方向感兴趣的朋友，可以对这些概念展开进一步的研究。也欢迎约稿分享所学～
本期的分享希望能给大家一个大致的轮廓，简单了解NMR都做了哪些事情。
下一期，将介绍量子边缘检测算法。下期见～
- [1] Yao X W, Wang H, Liao Z, et al. Quantum Image Processing and Its Application to Edge Detection: Theory and Experiment[J]. Physical Review X, 2017, 7(3).
- [2] 冯冠儒. 量子模拟的核磁共振实验研究[D]. 清华大学, 2014.
注：
作者：Duan.Bojia (QubitLab)
编辑：Zoe
校对：量豆豆
本文原创，首发在《量子机器学习》微信公众号，欢迎关注。最后感谢Zoe在量子客对本文的再次整理、校验与编辑。
