Quantum Error Correction Code： CSS Code

[latexpage]

摘要：

得益于量子态的相干叠加性，量子计算机在一些问题中可以起到极大的加速作用。而在量子信息处理过程中，因为退相干的存在，使得量子态很容易遭到破坏，从而，量子计算机建造就变得十分困难。为了保护量子信息在处理过程中不被破坏，有效的量子纠错码的提出迫在眉睫。量子通讯方面，Shor-Preskill 将量子纠错码和量子纠缠提纯结合在一起，在2000年基于量子纠缠提纯协议提出了一种更加简单的量子密钥分发协议的安全性证明。量子纠错码在量子信息的大厦中起了非常重要的作用，本文给大家介绍一种重要的量子纠错码： A. R. Calderbank ， Peter W. Shor and A. M. Steane 于1996年在两篇论文《Good quantum error-correcting codes exist》和《 Error Correcting Codes in Quantum Theory 》中分别提出的 CSS Code。

经典线性码知识

长度为 $n$ 的码 $C$ 是一组长度为 $n$ 的二进制向量组成的集合，一个长度为$n$ 的二进制向量称为一个码字（code word）。在线性码中，码字是域 $F_2^n$ 上的子空间中的向量（$F_2$ 表示的是二进制域）。 Hamming distance 表示两个长度为 $n$ 的码字不同位的个数（一个码字有 $n$ 个位, 按位进行比较，位上的数不同的位的总个数），码 $C$ 的 Hamming distance $d=d(C)$ 表示码 $C$ 中所有码字中最小的距离。这里还需要定义下 Hamming weight, $wt(v)$, $wt(v)$ 表示一个向量的不是 $0$ 的位的个数。例如， $v=0111001$，那么 $wt(v)=4$，而且，这时 $v$ 跟向量 $0000000$ 的距离 $d=wt(v)$。对于任意两个向量 $v$ 和 $w$, $d(v,w)=wt(v+w)$, 此处的运算 $+$ 是二进制的异或（Exclusive-or）。$[n,k,d]$ 码表示长度为 $n$, 维度 ($\dim$) 为 $k$, 最小 Hamming distance 为 $d$ 的线性码。$[n,k,d]$ 码包含 $2^k$ 个码字 (code word)，每个码字的长度为 $n$ , 可以纠正不超过 $t=[(d-1)/2]$ 个位置的错误。例如，$[7,4,3]$ 码，包括 $2^4$ 个码字，Hamming distance 为 3，可以纠正 1 个比特的错误：

\begin{equation*}\begin{split} &0000000, 0001011, 0010110, 0011101,\\ &0100111, 0101100, 0110001, 0111010,\\&1000101, 1001110, 1010011, 1011000,\\ &1100010, 1101001, 1110100, 1111111.\end{split}\end{equation*}

对偶码：$C^{\perp}$ 是码 $C$ 的对偶码，表示一组和码 $C$ 的所有码字都正交的码的集合， $$C^{\perp}=\{v\in F_2^n: v\cdot c=0, \forall c\in C\}.$$ 运算 $\cdot$ 表示按位的与操作 (bitwise AND operation) 并求所有位的异或得到奇偶性（parity）。

量子纠错码

量子纠错码 $Q$ 表示希尔伯特空间上 $\mathbf{H}_2^k \longmapsto \mathbf{H}_2^n$ 的一个酉映射。退相干用一个酉变换 $D$ 表示, 例如泡利矩阵 $\sigma_X$ 是单量子比特 bit-flip error ($|0\rangle\rightarrow |1\rangle, |1\rangle\rightarrow |0\rangle$) 操作, $\sigma_Z$ 是单量子比特 phase-flip error ($|0\rangle\rightarrow |0\rangle, |1\rangle\rightarrow -|1\rangle$)操作。对于原始态 $|x\rangle \in \mathbf{H}_2^k $, 假设退相干只影响了 $n$ 个量子比特中的 $t$ 个比特，如果能通过一个酉变换 $R$ 从退相干的态 $DQ|x\rangle$ 中恢复出原始态，那么称纠错码 $Q$ 可以纠正 $t$ 个量子比特的错误。

假设有一个线性码 $C_1\subset F_2^n$, 我们用码字 $c\in C_1$ 张开一个空间 $H_{C_1}\subset H_2^n$。码 $C_1$ 的生成矩阵 $M$ 由码字构成，矩阵的每一行是一个码字。对于 $w\in F_2^n$, 可以定义一个量子态：\begin{equation}|c_w\rangle=2^{-\dim(C_1)/2}\sum_{v\in F_2^{\dim(C_1)} }(-1)^{vMw}|vM\rangle.\end{equation} 上面的量子态 $|c_w\rangle$ 满足两个性质：\begin{equation}\begin{split}&(1)~|c_{w_1}\rangle=|c_{w_2}\rangle, \text{if}~w_1+w_2\in C^{\perp};\\&(2)~\langle c_{w_1}|c_{w_2}\rangle=0,\text{if}~w_1+w_2\not\in C^{\perp}.\end{split}\end{equation} 此时，对于$w \in F_2^n/C_1^{\perp}$, 所有的 $|c_{w}\rangle$ 构成了希尔伯特空间 $H_{C_1}$ 下的一组基矢（$F_2^n/C_1^{\perp}$ 表示集合 $C_1^{\perp}$ 在域 $F_2^n$ 上的陪集。这样的陪集有 $2^{\dim(C_1)}$ 个，构成 $|c_w\rangle$ 的一个自然指标集合）。

假设存在另一组线性码 $C_2$, 满足条件 $\{0\}\subset C_2 \subset C_1\subset F_2^n$。用码 $C_1$ 和码 $C_2$ 可以构造一种比较著名的量子纠错码即 CSS 码 $Q_{C_1, C_2}$，根据 $|c_w\rangle$ 的性质 $(1)$, 码 $Q_{C_1, C_2}$ 的自然指标集合为 $C_2^{\perp}/C_1^{\perp}$, 从而 $w\in C_2^{\perp}/C_1^{\perp}$, 维度为 $2^{\dim(C_1)-\dim(C_2)}$。例如，设码 $C_1$ 表示前面介绍的经典线性码 $[7,4,3]$ 码，码 $C_2$ 表示对偶码 $C_1^{\perp}$。因为 $\dim(C_1)=4$, $\dim(C_2)=3$, CSS 码 $Q_{C_1, C_2}$包括两个码字（根据码 $C_1$ 和码 $C_2$ 确定 $w$ 的自然指标集合，带入上面给出的量子码的码字量子态，就可以直接写出 CSS 码的码字量子态了）：\begin{equation}\begin{split}|c_1\rangle&=\frac{1}{4}(|0000000\rangle+|0011101\rangle+|0100111\rangle+|0111010\rangle\\&+|1001110\rangle+|1010011\rangle+|1101001\rangle+|110100\rangle\\&+|0001011\rangle+|0010110\rangle+|0101100\rangle+|0110001\rangle\\&+|1000101\rangle+|1011000\rangle+|1100010\rangle+|1111111\rangle),\end{split}\end{equation} and \begin{equation}\begin{split}|c_1\rangle&=\frac{1}{4}(|0000000\rangle+|0011101\rangle+|0100111\rangle+|0111010\rangle\\&+|1001110\rangle+|1010011\rangle+|1101001\rangle+|110100\rangle\\&-|0001011\rangle-|0010110\rangle-|0101100\rangle-|0110001\rangle\\&-|1000101\rangle-|1011000\rangle-|1100010\rangle-|1111111\rangle).\end{split}\end{equation}

CSS码的性质

对量子态码字 $c_w$ 作Hadamrd 变换进行基矢变换：\begin{equation}\begin{split}& |0\rangle\rightarrow |0\rangle+|1\rangle,\\&|1\rangle\rightarrow |0\rangle-|1\rangle,\end{split}\end{equation} 设新的基下的任一基矢为 $|x\rangle$, 得到 \begin{equation}\begin{split}|c_w\rangle\rightarrow |s_w\rangle&=2^{-\dim(C_1)/2}\sum_{v\in F_2^{\dim(C_1)} }(-1)^{vMw}\langle x|vM\rangle|x\rangle\\&=2^{-\dim(C_1)/2}\sum_{v\in F_2^{\dim(C_1)} }(-1)^{vMw}2^{-n/2}(-1)^{vMx}|x\rangle\\& = 2^{-n/2-\dim(C_1)/2}\sum_{v\in F_2^{\dim(C_1)} }(-1)^{vM(w+x)}|x\rangle\\&= 2^{(\dim(C_1)-n)/2}\sum_{u\in C_1^{\perp}} |u+w\rangle.\end{split} \end{equation} 其中，$u=w+x$ 且用到了码字的性质 $(2)$。例如，上面的 CSS 码在经过基矢变换之后变成了，\begin{equation}\begin{split}|s_0\rangle &= \frac{1}{2\sqrt{2}}(|0000000\rangle+|0011101\rangle+|0100111\rangle\\&+|0111010+|1001110\rangle+|1010011\rangle\\&+|1101001\rangle+|1110100\rangle),\end{split}\end{equation} and \begin{equation}\begin{split}|s_1\rangle &= \frac{1}{2\sqrt{2}}(|0001011\rangle+|0010110\rangle+|0101100\rangle\\&+|0110001+|1000101\rangle+|1011000\rangle\\&+|1100010\rangle+|1111111\rangle).\end{split}\end{equation}

在 $|c_w\rangle$ 表示下， CSS 码可以纠正 $t$ qubit bit-flip error, 在 $|s_w\rangle$ 表示下， CSS 码也可以纠正 $t$ qubit bit-flip error。事实上，在基矢变换下， $|s_w\rangle$ 表示下的 bit-flip error 是 $|c_w\rangle$ 表示下的 phase error, $|s_w\rangle$ 表示下的 phase error 是 $|c_w\rangle$ 表示下的 bit-flip error (反之亦是这样)。因而，CSS 码下的 bit-flip error 和 phase error 的纠错是互相独立，并可以分开进行的。