上一期量子图像处理及其应用:边缘检测(一)中,主要介绍了文献[1]的研究背景:在人工智能快速发展的现今,量子图像处理借助量子特性,为图像的高效处理提供了可能。

本期重点介绍量子图像处理模型及量子图像的表示方法。

量子图像处理及其应用:边缘检测(二)-量子客

缩略词

QImP: Quantum image processing, 量子图像处理

QImR: Quantum image representation, 量子图像表示

经典/量子图像处理可以通过下图表示:

F和G分别表示输入和输出的图像(矩阵);

图像处理过程包括:编码、处理、解码。

量子图像处理及其应用:边缘检测(二)-量子客

图片来源:文献[1]的图1

两者在存储和计算上的区别:

在存储上,经典计算需要2^n比特;量子计算需要n量子比特即可。
在计算上,经典计算是矩阵运算;量子计算是酉算子的演化。
量子图像处理及其应用:边缘检测(二)-量子客

文献[1]提出了一种QImR模型,称为:QPIE (Quantum Probability Image Encoding)

在文献[1]中,QImR模型用于将2D图像编码为量子纯态,即:

图像的像素值由量子态的概率幅表示;
图像的像素位置由量子态的基态表示。
量子图像处理及其应用:边缘检测(二)-量子客

如上图所示,在经典图像表示中,根据2维图像的像素值可以组成一个矩阵F,即矩阵F中的元素F_(i,j)表示图像中位置(i,j)的像素值。

对矩阵进行向量化操作,即将矩阵按列展开可以得到一个列向量f

此时,可以将这个列向量映射为一个量子态

量子态的概率幅值c_k表示像素值的大小(注意,这里的概率幅需要乘以一个归一化因子,以保证量子态满足归一条件);量子态的基态|k>表示像素值所在的位置。

综上,经典的图像原本由矩阵表示,通过向量化操作转换成向量,再编码为量子态。

当图像信息储存在QRAM中,映射需要O(n)步操作

此外,如果c_k和sum(c_k^2)可以通过经典算法有效计算,则构造n量子比特的量子态|f>需要O[poly(n)]步操作。

注意  : 这里“映射”和“构造”的区别:当数据已经存储在RAM中,将已知地址中的数据读取出来需要O(n)步;
而在制备算法的量子初态时,在已知特定经典数据时,需要O[poly(n)]步来构造。

在这里,QImP可以作为一个更大的量子算法的子程序,一旦图像信息可以以量子态形式表示,它们就可以参与各种量子算法的计算。

量子图像处理及其应用:边缘检测(二)-量子客

在文献[1]的附录A中,作者给出了另外三种QImRs模型,分别是:

基于“qubit lattice”的存储
FRQI (Flexible Representation of Quantum Images)
NEQR ( Novel Enhanced Quantum Representation)

但并未对其进行详细的展开。出于好奇,小编翻阅了参考文献,在这里做一个稍微详细的笔记。

基于“qubit lattice”的存储

文献[2](即文献[1]的参考文献[52])是2003年Venegas-Andraca和Bose提出的一种基于“qubit lattice”的存储。对于一个输入图像,其中每一个像素点都有一个qubit来表示。因此需要至少2^n比特的存储。虽然这种存储方式并没有实现量子加速,但也与经典的存储方式不同。

下图中的公式表示了一个像素值如何编码为一个量子比特

量子图像处理及其应用:边缘检测(二)-量子客

图:基于“qubit lattice”的存储

在经典存储中,彩色模式有两种:

1. 基于三原色的RGB模式(即红、绿、蓝),每一个图像会表示为3个独立的像平面的组合。

2. HSI模式(即色调、饱和度、亮度)。在这个模式中:

色调:与光的波长有关,对于不同波长的光,人会有不同的感官(如红色、绿色;或暖色、冷色等);
饱和度:表示颜色的纯度,饱和度越高,颜色越鲜艳;
亮度:颜色的明亮程度。

文献[2]中量子图像表示与经典的不同在于,量子图像处理不需要进行RGB或者HSI的叠加,而是直接利用了光的物理性质,即对光的频率进行编码。

这种编码方式允许我们存储所有光谱的频率,而不仅限于可见光谱。

文献[2]中的存储模式还引入了冗余,即存储了n_3个相同的图像。这个冗余的作用体现在图像检索算法中。有兴趣的朋友可以详读文献[2]。

FRQI

文献[3](即文献[1]的参考文献[53])提出了一种FRQI模型。

该模型与基于“qubit lattice”的模型相比:

相同的是两者均通过角度theta对颜色信息进行编码;
不同的是:前者是一个量子比特用于编码一个像素信息,因此需要2^n个量子比特;而后者(FRQI)则采用了n个量子比特来编码像素位置,大大减少了量子比特所需的数量。

FRQI的编码方式如下式所示。

量子图像处理及其应用:边缘检测(二)-量子客

这种编码方式将像素值和像素位置通过量子态张量积的形式进行了关联。下图列举了一个简单的2*2维图像及其FRQI量子态表示:

量子图像处理及其应用:边缘检测(二)-量子客

图:FRQI简单示例

NEQR

文献[4](即文献[1]的参考文献[54])提出了一种NEQR模型。

与FRQI相比,NEQR同样通过张量积的形式将像素值和像素位置进行了关联:

相同的是:两者都是用基态|k>表示像素位置;
不同的是:前者(FRQI)采用了1个量子比特编码像素值(颜色信息编码在概率幅中);后者(NEQR)采用了d个量子比特编码像素值(灰度信息编码在基态中)。

下图列举了一个简单的2*2维图像及其NEQR量子态表示:

量子图像处理及其应用:边缘检测(二)-量子客

NEQR比FRQI的优势在于:量子态的各个基态是正交可区分的,因此NEQR的量子图像是可区分的。这使得在量子图像的准备阶段,NEQR相比FRQI实现了二次加速,在量子图像压缩率上实现了1.5倍的提升。总体相比其他的量子图像模型更灵活且更适用于量子图像表示。

 QPIE与后两种模型的比较

文献[1]的附录A列举了QPIE和后两种模型的比较(没有比较第一种方法的原因在于第一种方法没有体现量子计算的高效性)。

具体的比较如下图所示。总的来说,QPIE相比另外两种方法需要更少的资源。

量子图像处理及其应用:边缘检测(二)-量子客

图片来源:文献[1]的表1

不过在小编看来,NEQR虽然在量子比特的存储数量上没有优势,但是由于量子基态的正交可分性,在数据的提取上相比另外两种方法更容易。因此我们在具体模型的选择上还是可以灵活处理,根据不同的计算需求选择不同的量子图像模型。

量子图像处理及其应用:边缘检测(二)-量子客

本期主要介绍的是经典的图像信息在量子计算中的表示方法,除了文献[1]中提出的QPIE,还介绍了三种其他的量子图像模型。下期将介绍量子图像的转变过程。

下期见~

  • [1] Yao X W, Wang H, Liao Z, et al. Quantum Image Processing and Its Application to Edge Detection: Theory and Experiment[J]. Physical Review X, 2017, 7(3).[2] S. E. Venegas-Andraca and S. Bose, Storing, Processing and Retrieving an Image Using Quantum Mechanics, Proc. SPIE Int. Soc. Opt. Eng. 5105, 137 (2003).[3] P. Le, F. Dong, and K. Hirota, A Flexible Representation of Quantum Images for Polynomial Preparation, Image Compression, and Processing Operations, Quantum Inf. Process. 10, 63 (2011).[4] Y. Zhang, K. Lu, Y. Gao, and M. Wang, NEQR: A Novel Enhanced Quantum Representation of Digital Images, Quantum Inf. Process. 12, 2833 (2013).

注:

作者:Duan.Bojia (QubitLab)
编辑:Zoe
校对:量豆豆

本文原创,首发在《量子机器学习》微信公众号,欢迎关注。最后感谢Zoe在量子客对本文的再次整理、校验与编辑。

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