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量子力学背后的数学复杂吗?

你很可能会想象量子力学的背后或许有着非常复杂的数学,但其实只要你掌握了矢量矩阵这两个简单的概念,那么我们就可以介绍量子力学的基本假设了。

量子力学背后的数学复杂吗?

量子力学原理

一个系统的(state),包含了为了确定它未来的演化,而必须指定的关于这个系统的所有信息。例如,在经典力学中,系统的态是由所有的粒子的位置和动量决定的。而在量子力学中,

即是矢量

我们用符号 |Ψ⟩ 表示态矢量。举一个简单的例子,考虑一个只有两种可能的态的系统,这两种态可以是0/1、上/下、开/关、左/右、死/活等等。这样的一个系统也叫做一个比特。比特的两个态可以用矢量的两个分量来表示。

$$|↑〉={1 \choose 0} \qquad |↓〉={0\choose 1}(1)$$          

接下来,我们会取一个沿着z-轴自旋的电子,作为在这堂课中将一直用到的物理例子。在经典世界中,电子的自旋要么向上,要么向下。但是,量子世界中的态可以同时是两种态的叠加,比如我们可以将态矢量相加:

$$|ψ〉=α|↑〉+β|↑〉={α \choose β}(2)$$

其中α和β是复数,并且满足|α|²+|β|²=1. 这样的一个态被称为量子比特。也就是说,电子的自旋可以即不向上,也不向下,它是两种可能的态之间的线性叠加。叠加态的可能性是量子力学所有怪异之处的根源。

可观察量

我们知道,可观察量(Obsservables)就是那些可以测量的东西。我们也知道,当将矩阵作用于矢量上时,就能产生其他的矢量。在量子力学中,

可观察量就是矩阵

对于在一个系统上可以做的每一种测量(比如能量、位置、动量、自旋等等),都存在一个不同的矩阵M。以电子的自旋为例,沿着x-轴、y-轴、z-轴自旋的电子相对应的矩阵分别是:

$$X={0 \qquad 1\choose1\qquad 0} \qquad Y={0 \quad {-i}\choose{i}\qquad 0} \qquad Z={0 \qquad 1\choose0\quad -1} (3)$$          

通过矩阵乘法,矩阵就可以”作用“在态矢量上。一般来说,当一个矩阵作用在一个矢量上时,会改变矢量的方向。但是,有一些矢量即使经历了矩阵乘法之后,方向也仍保持不变。这些特别的矢量被称为“本征矢量”(eigenvectors)。这意味着:

$$M|i〉=m_i|i〉(4)$$

其中|i是本征矢量,mi则是相应的本征值(eigenvalues)。例如,矢量(1)是Z的本征矢量,其本征值为+1和-1,即:

$$Z|↑〉=+1|↑〉 \qquad  Z|↓〉=-1↓〉(5)$$     

在量子力学中,

测量就是本征值

也就是说,一个测量的可能结果是与可观察量相关的矩阵M的本征值mi

但是,如果态不是可观察量M的本征矢量,那么对M的测量结果将是概率性的

测量可以给出任何一个本征值mi,且每一个都有一定的概率。我们可以以M的本征矢量的基来扩展任意态|Ψ⟩:

$$|Ψ⟩=\sum_{i}{α_i|i〉}(6)$$

其中αi是复常数。给出本征值mi的测量概率为|αi|²(即概率(mi)=|αi|²)。且所有概率之和必须为100%。以电子为例,测量到电子自旋向上和向下的概率分别为:

$$|↑〉:{|α|^2} \qquad |↓〉:{|β|^2} (7)$$   

且概率之和满足|α|²+|β|²=1。

坍缩

最后,记住:

在进行测量后,态矢量会发生坍缩

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也就是说,如果本征值mi被测量,那么测量后的系统的态是对应的本征矢量|i⟩。如果我们现在重复测量,我们能确定无疑地得到相同的值mi。但是,如果我们对一个不同的可观察量(对应于一个新矩阵N)进行测量,那么结果会再次是概率性的,除非|i⟩也是N的本征矢量。

以电子自旋为例,测量自旋向上或向下的概率分别为|α|²和|β|²。一旦进行了测量,态矢量|Ψ就会坍缩到|↑或|↓,具体坍缩到其中的哪一个态取决于被测量的是哪一个。任何沿着z-轴自旋的后续测量都会得到相同的值。但是,如果我们决定测量一个不同的量,比如沿着x-轴的自旋,那么结果会再次是概率性的。

让我们来看一个更加戏剧性的思想实验——薛定谔猫。这只猫处于一个密封的盒子中,盒子中还有一个充满有毒气体氰化氢的玻璃烧瓶和一些放射性物质。倘若盒子里的放射性原子发生了衰变,装有氰化氢的烧瓶就会被打碎,氰化氢挥发导致猫随即死亡;如果放射性物质没有衰变,则不会触发打碎烧瓶的装置,猫能继续存活。一个在盒子之外的观测者在没有打开盒子前,无法得知猫的命运。因此对于观测者而言,猫同时处于生与死的状态。

由于放射性的量子力学本质,猫的生或死的态是由量子比特携带的;当我们打开盒子发现猫是死是活的概率由|α|²和|β|²给出;一旦盒子被打开,猫的态就会坍缩成其中的一种。

不确定性原理

我们刚刚所提到的具有一个重要的含义。大多数矩阵都有不同的本征矢量,这意味着如果态是一个矩阵的本征矢量,它就不太可能是另一个矩阵的本征矢量。因此如果其中一种测量是确定的,那么另一种测量就变得越不确定。

这便是海森堡不确定性原理。它说的是,如果我们对粒子的位置知道的越精确,那么对它的动量就知道的越不精确,反之亦然。在经典力学中,我们可以同时精确地知道位置和动量;事实上,我们只有知道这些信息才能预测粒子未来的演化。但是,在量子力学中,如果我们知道一个粒子的位置x,那么就完全无法确定它的动量p,这种关系可以用式子表示:

$${\Delta x}{\Delta y}≥\frac{h}{2}(9)$$

其中ħ≈10-34J⋅s是普朗克常数。我们之所以在日常生活在没有察觉到这些不确定性,是因为ħ太小了。其他的可观察量也存在着类似的不确定性关系。

纠缠

当我们结合不同的系统时,就会发现事情变得越来越有趣了。我们可以思考这样一个例子,有两个自旋向上或向下的电子A和B,如果A处于向上的态|↑⟩A,B处于向下的态|↓⟩B,那么结合的态为:

$$|↑〉_A⊗|↓〉_B=|↑↓〉(10)$$

左边在数学上称为张量积。右边的第一个箭头代表A的自旋,第二个箭头代表B的自旋。因而总共有四种可能的结合态|↑↑⟩、|↑↓⟩、|↓↑⟩、|↓↓⟩。态矢量|Ψ⟩可以是这四种态的叠加。例如,如果一个系统的态为:

$$|ψ〉=\frac{1}{\sqrt{2}}|↑↓〉+\frac{1}{\sqrt{2}}|↓↑〉(11)$$

由于它不能被分离为单个电子的态的乘积,所以这个系统的态被称为纠缠态。但这并不意味着四种可能的结合态的叠加都是纠缠态。例如另一个积态

$$|ψ〉=\frac{1}{\sqrt{2}}|↑↑〉+\frac{1}{\sqrt{2}}|↓↓〉=(\frac{1}{\sqrt{2}}|↑〉_A+\frac{1}{\sqrt{2}}|↓〉_A)⊗|↓〉_B(12)$$

积态的主要特征是每个子系统的行为都是相互独立的——如果对B进行一个实验,得到的结果将与A不存在时完全一样。而在纠缠态中,A和B的测量是不独立的。

如果一个没有自旋的粒子衰变成两个电子,态(11)就会出现。由于角动量守恒,两个电子的自旋必须是反向对齐的。在经典物理中,该系统则必须处于态|↑↓⟩|↓↑⟩,但在量子物理中,它可以处于态|↑↓⟩|↓↑⟩。然后我们将这两个电子分开,比如一个留在地球上,另一个则被送往宇宙的另一端。接着我们测量留在地球上的电子的自旋,测量的结果有50%的可能自旋向上,50%的可能自旋向下。但是,一旦我们测得这个电子的自旋,就能即刻确定在宇宙另一端的电子的自旋。

你或许会想,在经典物理中也发生同样的事情。例如你有一对手套,将左右手套分别放入两个不同的盒子中,接着两个盒子被分开的很远。如果你打开其中一个盒子发现里面是左手套,你就立刻能知道另一只无论相距多远的是右手套。这没问题。但是,如果这对手套是量子手套,那么在打开盒子之前,盒子内的量子手套可以是左手套和右手套(以及它们之间的任何东西)。此外,在你观测到右手套之前,左手套还没有成为左手套,只有在观测的那一刻,两只手套才会获得确定的手性。这样的想法令爱因斯坦很沮丧,他将这种现象称为“鬼魅般的超距作用”。

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真实存在的量子纠缠

纠缠,无疑是量子力学中最令人困惑的现象。但它真的存在吗?我们现在就来进一步探索。

GHZ实验

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上面是三位科学家A、B、C,分别被派往三个位于不同地点的实验室。每分钟他们都会收到一个来自神秘的中央指挥中心S送来的包裹:

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他们各自都有一台机器可以对包裹进行测量。这台机器有两个设置X或Y,并且每个测量都能给出两种结果+1和-1。

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有一天,他们收到了指挥中心发来的指示:

  • 选择机器上的设置X或Y;
  • 把包裹放入机器;
  • 进行一次测量;
  • 记录结果是+1还是-1;
  • 回到第一个步骤。

尽管他们并不知道包裹里是什么(可能是血样,也可能是基本粒子,或者机器只是单纯的跳出+1/-1),但他们每次都会把测量结果记录下来,直到他们都有像下面这样的一个列表:

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在各自做了大量测量后,A、B和C聚在一起开始寻找他们的测量之间的相关性。(由于他们的包裹都来自同样的地方,所以他们有理由预期可能会出现相关性。)他们注意到:当他们三人中间的其中一人测量了X,另外二人测量了Y时,得到的结果相乘总会得到+1,即

$$X_{A}Y_{B}Y_{C}=Y_{A}X_{B}Y_{C}=Y_{A}Y_{B}X_{C}(13)$$

之所以会发生这样的情况有可能是因为他们三个得到的结果都是+1;或者一个得到了+1,另外两个得到了-1。由于中央指挥中心S无法提前预知三位科学家A、B、C每次会选择X还是Y来进行测量,因此S必须在测量进行之前,就决定好包裹在X和Y的设定之下的态。若要与(13)所描述的观测到的相关性一致,那么中央指挥中心S送出的包裹只能是以下这8种可能的方式:

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现在,注意(13)给出了预言……如果三个科学家测量X,那么相乘的结果必须给出+1——从矩阵(14)可以看出,将每个矩阵中的第一纵列的元素相乘就能得到+1这个结果。或者,我们可以通过简单的算术来证明这个结果:

$$(X_{A}Y_{B}Y_{C})(Y_{A}X_{B}Y_{C})(Y_{A}Y_{B}X_{C})=(X_{A}X_{B}X_{C})(Y_{A}X_{B}Y_{C})^{2}(15)=X_{A}X_{B}X_{C}=+1$$

在第一个等式中,我们使用到了结合律,第二个等式是来自(±1)²=+1这一事实,最后一个等式是(13)的结果。

科学家已经在现实中进行过GHZ(Greenberger、Horne和Zeilinger的缩写)实验,他们测量的是电子的自旋。实验得到了一个惊人的事实:实验者观察到了与(13)同样的相关性。但是,他们没有得到(15)的结果,而是发现:

$$X_{A}X_{B}X_{C}=-1(16)$$

在经典物理中,这不应该发生,因为(15)是(13)的一个逻辑结论。这就意味着,我们对于宇宙如何运作的基本(经典)直觉是错误的!

量子现实

我们假设当包裹离开中央指挥中心的时候,对量X和Y有明确的分配。在(14)中我们罗列了所有的可能性。但是在量子世界中,我们无法对所有可能的测量给出确定的分配。相反,我们必须考虑到叠加态的可能性和实验结果的概率性。事实证明,量子力学的这种特殊性解决了这个难题。

更具体地说,A、B和C实际上是在测量电子沿x-轴和y-轴的自旋。在这个情况下,测量矩阵是:

$$X={0 \qquad 1\choose1\qquad 0} \qquad Y={0 \quad {-i}\choose{i}\qquad 0}(17)$$          

这两个矩阵的本征值都是+1和-1。现在,像之前一样,我们定义两个特殊的态矢量,它们表示的是电子相对于z-轴向上或向下的自旋。

$$|↑〉={1 \choose 0} \qquad |↓〉={0\choose 1}(18)$$          

这些态不是X和Y的本征态。我们可以看出,把矩阵X作用在|↑⟩上的时候,会得到|↓⟩,反之亦然。同样的情况也发生在矩阵Y上:

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现在假如你被告知,中央指挥中心送出了以下的纠缠态:

$$|ψ〉=\frac{1}{\sqrt{2}}|↑↑↑〉-\frac{1}{\sqrt{2}}|↓↓↓〉(20)$$

这对应于两种态的叠加,一种是所有自旋向上的态,另一种是所有自旋向下的态:

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注意,这里的箭头是有顺序的,第一个箭头对应于第一个粒子的自旋(也就是发送给科学家A的),以此类推。因此,测量矩阵XA作用于每个态的第一个箭头,XB作用于每个态的第二个箭头,以此类推。

(20)中的态是XAYBYC、YAXBYC和YAYBXC的本征矢量。重要的是,它也是XAXBXC的本征矢量。通过以下计算我们可以检查一下它是否能导致观察到的相关性:

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同样地,我们可以得出

$$Y_{A}X_{B}Y_{C}|ψ〉=Y_{A}Y_{B}X_{C}|ψ〉=+1|ψ〉(22)$$

因此,当只有有一个科学家测量X时,所得的结果相乘就会得到+1。但是当A、B、C三个科学家都测量X时,就会得到:

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这在方程(15)所代表的经典期望中是错误的,但在量子世界却完全是合理的。

其中一个很重要的点是,这三个粒子的自旋态都不是独立的,而是处于“纠缠”的态,也就是所有自旋向上|↑↑↑⟩ 和所有自旋向下|↓↓↓⟩的叠加。无论科学家相隔多远,这种自旋态的纠缠都反映在他们的测量中。这就是世界的真实运转方式。

本文转载自新原理研究生,观点不代表量子客Qtumist 立场。

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