你很可能会想象量子力学的背后或许有着非常复杂的数学，但其实只要你掌握了矢量和矩阵这两个简单的概念，那么我们就可以介绍量子力学的基本假设了。
量子力学原理
态
一个系统的态（state），包含了为了确定它未来的演化，而必须指定的关于这个系统的所有信息。例如，在经典力学中，系统的态是由所有的粒子的位置和动量决定的。而在量子力学中，
态即是矢量
我们用符号 |Ψ⟩ 表示态矢量。举一个简单的例子，考虑一个只有两种可能的态的系统，这两种态可以是0/1、上/下、开/关、左/右、死/活等等。这样的一个系统也叫做一个比特。比特的两个态可以用矢量的两个分量来表示。
$$|↑〉={1 \choose 0} \qquad |↓〉={0\choose 1}(1)$$
接下来，我们会取一个沿着z-轴自旋的电子，作为在这堂课中将一直用到的物理例子。在经典世界中，电子的自旋要么向上，要么向下。但是，量子世界中的态可以同时是两种态的叠加，比如我们可以将态矢量相加：
$$|ψ〉=α|↑〉+β|↑〉={α \choose β}(2)$$
其中α和β是复数，并且满足|α|²+|β|²=1. 这样的一个态被称为量子比特。也就是说，电子的自旋可以即不向上，也不向下，它是两种可能的态之间的线性叠加。叠加态的可能性是量子力学所有怪异之处的根源。
可观察量
我们知道，可观察量（Obsservables）就是那些可以测量的东西。我们也知道，当将矩阵作用于矢量上时，就能产生其他的矢量。在量子力学中，
可观察量就是矩阵
对于在一个系统上可以做的每一种测量（比如能量、位置、动量、自旋等等），都存在一个不同的矩阵M。以电子的自旋为例，沿着x-轴、y-轴、z-轴自旋的电子相对应的矩阵分别是：
$$X={0 \qquad 1\choose1\qquad 0} \qquad Y={0 \quad {-i}\choose{i}\qquad 0} \qquad Z={0 \qquad 1\choose0\quad -1} (3)$$
通过矩阵乘法，矩阵就可以”作用“在态矢量上。一般来说，当一个矩阵作用在一个矢量上时，会改变矢量的方向。但是，有一些矢量即使经历了矩阵乘法之后，方向也仍保持不变。这些特别的矢量被称为“本征矢量”（eigenvectors）。这意味着：
$$M|i〉=m_i|i〉(4)$$
其中|i⟩是本征矢量，mi则是相应的本征值（eigenvalues）。例如，矢量（1）是Z的本征矢量，其本征值为+1和-1，即：
$$Z|↑〉=+1|↑〉 \qquad Z|↓〉=-1↓〉(5)$$
在量子力学中，
测量就是本征值
也就是说，一个测量的可能结果是与可观察量相关的矩阵M的本征值mi。
但是，如果态不是可观察量M的本征矢量，那么对M的测量结果将是概率性的。
测量可以给出任何一个本征值mi，且每一个都有一定的概率。我们可以以M的本征矢量的基来扩展任意态|Ψ⟩：
$$|Ψ⟩=\sum_{i}{α_i|i〉}(6)$$
其中αi是复常数。给出本征值mi的测量概率为|αi|²（即概率(mi)=|αi|²）。且所有概率之和必须为100%。以电子为例，测量到电子自旋向上和向下的概率分别为：
$$|↑〉:{|α|^2} \qquad |↓〉:{|β|^2} (7)$$
且概率之和满足|α|²+|β|²=1。
坍缩
最后，记住：
在进行测量后，态矢量会发生坍缩
也就是说，如果本征值mi被测量，那么测量后的系统的态是对应的本征矢量|i⟩。如果我们现在重复测量，我们能确定无疑地得到相同的值mi。但是，如果我们对一个不同的可观察量（对应于一个新矩阵N）进行测量，那么结果会再次是概率性的，除非|i⟩也是N的本征矢量。
以电子自旋为例，测量自旋向上或向下的概率分别为|α|²和|β|²。一旦进行了测量，态矢量|Ψ⟩就会坍缩到|↑⟩或|↓⟩，具体坍缩到其中的哪一个态取决于被测量的是哪一个。任何沿着z-轴自旋的后续测量都会得到相同的值。但是，如果我们决定测量一个不同的量，比如沿着x-轴的自旋，那么结果会再次是概率性的。
让我们来看一个更加戏剧性的思想实验——薛定谔猫。这只猫处于一个密封的盒子中，盒子中还有一个充满有毒气体氰化氢的玻璃烧瓶和一些放射性物质。倘若盒子里的放射性原子发生了衰变，装有氰化氢的烧瓶就会被打碎，氰化氢挥发导致猫随即死亡；如果放射性物质没有衰变，则不会触发打碎烧瓶的装置，猫能继续存活。一个在盒子之外的观测者在没有打开盒子前，无法得知猫的命运。因此对于观测者而言，猫同时处于生与死的状态。
由于放射性的量子力学本质，猫的生或死的态是由量子比特携带的；当我们打开盒子发现猫是死是活的概率由|α|²和|β|²给出；一旦盒子被打开，猫的态就会坍缩成其中的一种。
不确定性原理
我们刚刚所提到的具有一个重要的含义。大多数矩阵都有不同的本征矢量，这意味着如果态是一个矩阵的本征矢量，它就不太可能是另一个矩阵的本征矢量。因此如果其中一种测量是确定的，那么另一种测量就变得越不确定。
这便是海森堡不确定性原理。它说的是，如果我们对粒子的位置知道的越精确，那么对它的动量就知道的越不精确，反之亦然。在经典力学中，我们可以同时精确地知道位置和动量；事实上，我们只有知道这些信息才能预测粒子未来的演化。但是，在量子力学中，如果我们知道一个粒子的位置x，那么就完全无法确定它的动量p，这种关系可以用式子表示：
$${\Delta x}{\Delta y}≥\frac{h}{2}(9)$$
其中ħ≈10-34J⋅s是普朗克常数。我们之所以在日常生活在没有察觉到这些不确定性，是因为ħ太小了。其他的可观察量也存在着类似的不确定性关系。
纠缠
当我们结合不同的系统时，就会发现事情变得越来越有趣了。我们可以思考这样一个例子，有两个自旋向上或向下的电子A和B，如果A处于向上的态|↑⟩A，B处于向下的态|↓⟩B，那么结合的态为：
$$|↑〉_A⊗|↓〉_B=|↑↓〉(10)$$
左边在数学上称为张量积。右边的第一个箭头代表A的自旋，第二个箭头代表B的自旋。因而总共有四种可能的结合态：|↑↑⟩、|↑↓⟩、|↓↑⟩、|↓↓⟩。态矢量|Ψ⟩可以是这四种态的叠加。例如，如果一个系统的态为：
$$|ψ〉=\frac{1}{\sqrt{2}}|↑↓〉+\frac{1}{\sqrt{2}}|↓↑〉(11)$$
由于它不能被分离为单个电子的态的乘积，所以这个系统的态被称为纠缠态。但这并不意味着四种可能的结合态的叠加都是纠缠态。例如另一个积态：
$$|ψ〉=\frac{1}{\sqrt{2}}|↑↑〉+\frac{1}{\sqrt{2}}|↓↓〉=(\frac{1}{\sqrt{2}}|↑〉_A+\frac{1}{\sqrt{2}}|↓〉_A)⊗|↓〉_B(12)$$
积态的主要特征是每个子系统的行为都是相互独立的——如果对B进行一个实验，得到的结果将与A不存在时完全一样。而在纠缠态中，A和B的测量是不独立的。
如果一个没有自旋的粒子衰变成两个电子，态（11）就会出现。由于角动量守恒，两个电子的自旋必须是反向对齐的。在经典物理中，该系统则必须处于态|↑↓⟩或|↓↑⟩，但在量子物理中，它可以处于态|↑↓⟩和|↓↑⟩。然后我们将这两个电子分开，比如一个留在地球上，另一个则被送往宇宙的另一端。接着我们测量留在地球上的电子的自旋，测量的结果有50%的可能自旋向上，50%的可能自旋向下。但是，一旦我们测得这个电子的自旋，就能即刻确定在宇宙另一端的电子的自旋。
你或许会想，在经典物理中也发生同样的事情。例如你有一对手套，将左右手套分别放入两个不同的盒子中，接着两个盒子被分开的很远。如果你打开其中一个盒子发现里面是左手套，你就立刻能知道另一只无论相距多远的是右手套。这没问题。但是，如果这对手套是量子手套，那么在打开盒子之前，盒子内的量子手套可以是左手套和右手套（以及它们之间的任何东西）。此外，在你观测到右手套之前，左手套还没有成为左手套，只有在观测的那一刻，两只手套才会获得确定的手性。这样的想法令爱因斯坦很沮丧，他将这种现象称为“鬼魅般的超距作用”。
真实存在的量子纠缠
纠缠，无疑是量子力学中最令人困惑的现象。但它真的存在吗？我们现在就来进一步探索。
GHZ实验
上面是三位科学家A、B、C，分别被派往三个位于不同地点的实验室。每分钟他们都会收到一个来自神秘的中央指挥中心S送来的包裹：
他们各自都有一台机器可以对包裹进行测量。这台机器有两个设置X或Y，并且每个测量都能给出两种结果+1和-1。
有一天，他们收到了指挥中心发来的指示：
- 选择机器上的设置X或Y；
- 把包裹放入机器；
- 进行一次测量；
- 记录结果是+1还是-1；
- 回到第一个步骤。
尽管他们并不知道包裹里是什么（可能是血样，也可能是基本粒子，或者机器只是单纯的跳出+1/-1），但他们每次都会把测量结果记录下来，直到他们都有像下面这样的一个列表：
在各自做了大量测量后，A、B和C聚在一起开始寻找他们的测量之间的相关性。（由于他们的包裹都来自同样的地方，所以他们有理由预期可能会出现相关性。）他们注意到：当他们三人中间的其中一人测量了X，另外二人测量了Y时，得到的结果相乘总会得到+1，即
$$X_{A}Y_{B}Y_{C}=Y_{A}X_{B}Y_{C}=Y_{A}Y_{B}X_{C}(13)$$
之所以会发生这样的情况有可能是因为他们三个得到的结果都是+1；或者一个得到了+1，另外两个得到了-1。由于中央指挥中心S无法提前预知三位科学家A、B、C每次会选择X还是Y来进行测量，因此S必须在测量进行之前，就决定好包裹在X和Y的设定之下的态。若要与（13）所描述的观测到的相关性一致，那么中央指挥中心S送出的包裹只能是以下这8种可能的方式：
现在，注意（13）给出了预言……如果三个科学家测量X，那么相乘的结果必须给出+1——从矩阵（14）可以看出，将每个矩阵中的第一纵列的元素相乘就能得到+1这个结果。或者，我们可以通过简单的算术来证明这个结果：
$$(X_{A}Y_{B}Y_{C})(Y_{A}X_{B}Y_{C})(Y_{A}Y_{B}X_{C})=(X_{A}X_{B}X_{C})(Y_{A}X_{B}Y_{C})^{2}(15)=X_{A}X_{B}X_{C}=+1$$
在第一个等式中，我们使用到了结合律，第二个等式是来自(±1)²=+1这一事实，最后一个等式是（13）的结果。
科学家已经在现实中进行过GHZ（Greenberger、Horne和Zeilinger的缩写）实验，他们测量的是电子的自旋。实验得到了一个惊人的事实：实验者观察到了与（13）同样的相关性。但是，他们没有得到（15）的结果，而是发现：
$$X_{A}X_{B}X_{C}=-1(16)$$
在经典物理中，这不应该发生，因为（15）是（13）的一个逻辑结论。这就意味着，我们对于宇宙如何运作的基本（经典）直觉是错误的！
量子现实
我们假设当包裹离开中央指挥中心的时候，对量X和Y有明确的分配。在（14）中我们罗列了所有的可能性。但是在量子世界中，我们无法对所有可能的测量给出确定的分配。相反，我们必须考虑到叠加态的可能性和实验结果的概率性。事实证明，量子力学的这种特殊性解决了这个难题。
更具体地说，A、B和C实际上是在测量电子沿x-轴和y-轴的自旋。在这个情况下，测量矩阵是：
$$X={0 \qquad 1\choose1\qquad 0} \qquad Y={0 \quad {-i}\choose{i}\qquad 0}(17)$$
这两个矩阵的本征值都是+1和-1。现在，像之前一样，我们定义两个特殊的态矢量，它们表示的是电子相对于z-轴向上或向下的自旋。
$$|↑〉={1 \choose 0} \qquad |↓〉={0\choose 1}(18)$$
这些态不是X和Y的本征态。我们可以看出，把矩阵X作用在|↑⟩上的时候，会得到|↓⟩，反之亦然。同样的情况也发生在矩阵Y上：
现在假如你被告知，中央指挥中心送出了以下的纠缠态：
$$|ψ〉=\frac{1}{\sqrt{2}}|↑↑↑〉-\frac{1}{\sqrt{2}}|↓↓↓〉(20)$$
这对应于两种态的叠加，一种是所有自旋向上的态，另一种是所有自旋向下的态：
注意，这里的箭头是有顺序的，第一个箭头对应于第一个粒子的自旋（也就是发送给科学家A的），以此类推。因此，测量矩阵XA作用于每个态的第一个箭头，XB作用于每个态的第二个箭头，以此类推。
（20）中的态是XAYBYC、YAXBYC和YAYBXC的本征矢量。重要的是，它也是XAXBXC的本征矢量。通过以下计算我们可以检查一下它是否能导致观察到的相关性：
同样地，我们可以得出
$$Y_{A}X_{B}Y_{C}|ψ〉=Y_{A}Y_{B}X_{C}|ψ〉=+1|ψ〉(22)$$
因此，当只有有一个科学家测量X时，所得的结果相乘就会得到+1。但是当A、B、C三个科学家都测量X时，就会得到：
这在方程（15）所代表的经典期望中是错误的，但在量子世界却完全是合理的。
其中一个很重要的点是，这三个粒子的自旋态都不是独立的，而是处于“纠缠”的态，也就是所有自旋向上|↑↑↑⟩ 和所有自旋向下|↓↓↓⟩的叠加。无论科学家相隔多远，这种自旋态的纠缠都反映在他们的测量中。这就是世界的真实运转方式。
