调和量子力学和引力之间的矛盾是一直以来物理学家面临的挑战,最近的发展发现最初在量子信息里出现的一些概念,例如量子纠缠和量子纠错,对于理解量子引力起着非常基础的作用。

在爱因斯坦提出广义相对论超过一个世纪的今天,如何给出和量子力学自洽的引力描述依然是一个谜团。为什么引力的量子化如此的困难?最近有证据暗示了问题不只是出在技术上的困难,而是有一些深层次的物理原因。Bekenstein和Hawking指出,为了保证有黑洞的引力系统的热力学第二定律成立,黑洞应该具有熵A/4G. 这里A是视界面积,G是牛顿引力常数。热力学第二定律暗示了黑洞熵的面积定律,是在相同尺寸下,所有可能的物态的熵的上界。另一方面,熵是独立自由度数目的量度。然而,任何有着局域自由度的理论,例如量子场论,最大的熵应该满足体积律。很明显,这之间存在着一个尖锐的矛盾。

全息原理

为了解决这个问题,t’Hooft和Susskind提出了全息原理,全息原理揭示了看上去是三维的空间实际上是二维的。换句话说,三维的世界就像我们通过VR眼镜看到的虚拟现实一样。从效果上看,就像VR眼镜和我们的观察系统进行耦合,从而从屏幕上播放的2+1维影像重构出了3+1维的现实——这也就意味着我们从虚拟现实得到的信息由一个面积律作为上限——它是屏幕上像素的数目。从这个观点来看,我们三维的空间就像柏拉图洞穴中的影子,而影像才是“现实”。有趣的是,这个影子(三维空间)比创造了它的现实世界(二维影像)维数更高。

构造一个满足全息原理的量子引力理论是困难的。在1997年出现了一个突破,即Maldacena发现的AdS(反德西特时空)/CFT(共形场论)对偶。AdS/CFT 猜想是一种渐近AdS时空中的引力理论和一种在AdS空间的类空无限远处定义的量子场论之间的对偶关系。物理上,对偶表示两个理论尽管看起来很不相同,但是一旦我们知道如何去比较它们之后,它们的性质之间便存在一一对应关系的情况。就像两种语言,它们的发音完全不同,但是一旦我们手中有字典,便可以相互翻译。粗略的说,我们可以从边界出发,认为额外的维度代表边界的尺度。低能和长波下的动力学在体(bulk)的很深处,就像图1a表示的那样。假设这个对偶是准确的,所有边界的性质应该有一个体的描述。尤其是,Ryu和Takayanagi提出的边界区域A的纠缠熵由 决定。形式上和黑洞熵一致但是黑洞视界面积换成了和区域A相关的极端曲面的面积。

在这个边界理论中,有着不同纠缠结构的态具有不同的时空几何。例如共形场论的基态对应于AdS空间,对于这种空间,RT曲面的面积比起边界区域的体积增长要慢得多。相比之下,当边界处在有限温热平衡态的时候,对偶的几何给出黑洞,其视界结构和边界对应。RT面限制在边界和黑洞视界之间的区域中,因此其面积也正比于边界区域的体积。增加温度对应于增加体中黑洞的尺度,因此将RT面更加推向边界,导致一个更大的熵。

RT公式和它的推广暗示了时空几何是通过量子纠缠构造出来的。为了构造一个全息量子引力理论,第一步就是寻找满足RT公式的量子态。然而,这是一个不平庸的任务。例如,RT公式要求A和区域B,C由互信息来描述的关联,总是比A分别和它们的关联之和要大,这个性质一般来说是不成立的。

引力来自量子信息吗?-量子客

图1:全息对偶和RT公式的图形描述,a 体理论是从边界理论演生的全息投影。自由度的数目由边界理论的像素数目决定。演生的方向对应尺度,例如越靠近体的内部的物体对应于边界有着更大的尺度和更低的能量。b 区域A的纠缠熵由极端曲面的面积决定,通过先将A变形进体中,然后寻找面积函数的鞍点得到。C. 对于一个黑洞几何,RT面限制在边界和视界之间,因此具有和区域A的体积成比例的面积。

来自量子纠错的局域性

如果我们相信全息对偶精确成立,每个体中的态对应于边界理论的唯一一个态。尤其是,我们可以考虑一个在位置x上远离边界的电子波包。电子有它自己的自旋,携带一个比特的量子信息。对偶告诉我们我们可以从边界得到这个自旋量子比特。比如自旋的z分量应该对应于边界上的一个算符,至少原则上是可以测量的。然而,这似乎和局域性是不自洽的。既然边界理论是相对论的,没有信号可以超光速传播。因此,如何能够瞬时的,站在边界上测量并旋转在中心的自旋呢?

这个表面上的矛盾由Almheiri, Xi Dong和Harlow在一篇漂亮的文章中解决了。基于之前关于如何从一个边界的子集构造出体算符的方法——-这一方法叫做局域重构(local reconstruction)——他们提出体中的自旋只能够通过一个定义在足够大边界区域的算符得到。例如图2a的B区域。而它是不能通过一个较小的区域实现的,例如同一张图的A区域。结果就是,尽管存在一种瞬时的通过边界控制体中的自旋的方法,这个作用将会需要同时操作一大块区域。话句话说,一个在边界很小一块区域的局域观测者是不能得到体中的自旋的信息的,因此体自旋看起来离她很远。局域性和速度的上限——光速——在这样一个世界中并不完全正确,但是它对于所有没有能力同时操控宇宙一大片区域的局域观者而言有效成立。有趣的是,这个机制和量子信息中的量子纠错编码(QECC)是相同的。量子纠错的想法是冗余的储存信息,以便即使一部分存储器被污染了,信息仍旧存储在剩下的一部分中。引力来自量子信息吗?-量子客

图2: 从边界获取体中的量子比特和量子纠错的类比 a 一个在体中位置为x的量子比特并不能通过任何边界处很小的区域获得,例如A,因为信号传播的时间是有限的。它可以翻译到量子纠错,体的量子比特是被保护不受到边界处局域错误的影响的。然而,信息可以通过大区域例如B来得到。b. 一个量子纠错的例子,将一个量子比特编码到五个量子比特中。如果一个错误发生在具有两个量子比特的子系统A中,编码的信息依然可以被恢复。

根据这个类比,两个边界态对应于两个体自旋的态, , 可以被认为是一个体量子比特到边界系统的映射。量子比特不能从一个很小的边界区域构造确保了存储的信息在边界系统出现错误的情况下是不受影响的。体中的局域性是由编码映射的量子纠错性质带来的。QECC的性质,也和RT公式有着紧密联系。粗略的说,RT熵是允许QECC出现所需的“纠缠资源”。

张量网络

基于这个关于局域性的新理解,我们如何进一步推进研究?像RT公式和QECC这样的性质是暗示了我们正在寻找的是一个非常特殊的理论,还是说,这些性质是一大类模型都满足的一般性质?实现这些性质的关键是什么?为了获得更多的理解,构建具有相似性质的玩具模型是有帮助的。从Swingle的工作开始,一大类叫做张量网络的玩具模型已经被设计出来了。从历史上来看,张量网络在凝聚态中已经作为强关联系统中的变分波函数被广泛使用了。和Swingle的工作相关的网络叫做多尺度纠缠重整化拟设(MERA),最初由Vidal提出。

一个张量网络是一个通过将少体量子态粘起来形成的多体波函数,少体的量子态叫做张量。构建一个张量网络就像是把你的电脑连入互联网。当我们通过电子邮件联系的时候,我们的电脑并不是直接相互之间发送信号的。相反我们将信息传给邮件服务器,服务器起到一个媒介功能。相似的,一个张量网络态的构造,首先构建一些EPR纠缠对,然后通过一个纠缠的基底测量一些量子比特。测量后的量子比特现在处在一个纠缠的纯态中,它们将剩下的量子比特粘成了一个更复杂的纠缠态,就像是邮件服务器通过交流网络连接我们一样。用这种方法,即使每个节点只让几个量子比特纠缠,我们也可以构造复杂的量子纠缠。

将张量网络和全息对偶相联系是很自然的,因为张量网络的纠缠熵是通过它的图几何控制的。例如,图3b展示了区域A B有着相同的大小,但是A比B有着更多的纠缠熵因为有更多的EPR对传递着A和它互补区域的纠缠。一般来说,如果每个EPR对最大纠缠了两个量子比特的D个态(键指标维度为D),那么A的纠缠熵就由将A和它的补区域分隔开的最小切断的数目,乘上一个因子logD 作为上限。如果实际的熵和这个上界成比例,则RT公式成立,这并不是对每个张量网络都成立的。

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图3: 张量网络态和编码的体量子比特  a.张量网络态,通过准备EPR对,然后对于中间的结点S1,S2做纠缠测量来构造。b.两个区域A和B,具有相同的体积但是不同的最大熵。A比B有更大的熵,因为A和它的补集纠缠是由两个量子比特传递的而不是1个。c. 一个体量子比特通过带有体指标的张量网络编码到一个边界量子态上。

特殊的具有RT纠缠熵和量子纠错性质的张量网络叫做稳定子编码(stabilizer code)和有着很大的键指标维度(bond dimension)的随机张量网络。粗略的说,一个在每个结点有着随机张量的张量网络可以认为是带有网络几何限制的随机态。因为相同的原因,希尔伯特空间的随机态是最大纠缠的,随机张量网络中的纠缠熵接近于最大允许的值,由RT公式给出。一个体中的量子比特可以由体中的小扰动引入,例如改变某个张量。随机性帮助我们确定量子比特是通过一个高度纠缠的方式编码的,因此没有信息可以通过很小的边界区域得到。

随机张量网络提供了一大类有趣的态,可以作为研究全息对偶的玩具模型。一个有趣的性质是RT公式对于具有大的键指标维度的随机张量网络是成立的,即使几何不是双曲的。这就给我们提供了一些希望,即使我们脱离AdS时空,在更一般的几何中研究量子引力,随机张量网络依旧是有用的。然而,关于量子引力的许多其他方面,张量网络还没有能够捕捉到。一个最大的未解决的问题是,如何描述引力动力学。理想的,我们想要引入一个哈密顿量来描述张量网络态的动力学,然后将它映射到体几何的动力学。然而,张量选择的随机性让其变得十分困难。在三维下,随机张量网络通过Regge积分和引力作用量联系了起来。

动力学和混沌

既然几何是纠缠结构的一种表现,很自然的,由爱因斯坦方程描述的几何动力学,应该和纠缠的动力学相关。尤其是,在一些关于共形场论的基态附近的小扰动的情况下,Van Raamsdonk 和合作者从RT公式中推导出了线性的爱因斯坦方程。这个证明的思想由图4的这个三角形总结了出来。RT公式将态的熵和极端曲面的面积结合了起来。另一方面,共形对称性允许我们将能动张量和真空态附近小扰动的纠缠熵联系起来。因此,极端曲面的面积和边界的能量动量分布有联系,而这正好就等价于线性爱因斯坦方程。我们期望,爱因斯坦方程的推导对于其它的背景几何也是成立的(对应于偏离CFT真空的态),但是证明还没有被推广到那一步。

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图4: 纠缠,体几何和边界的能动张量的关系。态的熵通过RT公式和极端曲面的面积相关,线性爱因斯坦场方程将极端曲面和边界的能动张量分布联系起来。另一方面,共形对称性允许我们将能动张量和关于真空小扰动的纠缠熵联系起来。

 

对于一般的几何,我们从边界的角度还不理解其动力学,但是体中的引力动力学的一些方面,对于边界给出了一些有趣的理解。考虑一个体中的黑洞几何,它对应于边界上的一个热态。考虑两个粒子a,b,在黑洞附近散射,b粒子向着边界跑(图5)。为了到达边界的时候有一个有限的能量,b在近视界的时候要有大得多的能量。散射越靠近视界,b的能量随着它接近视界就会越大,b到达边界就会越晚。从边界的角度来看,如果我们写下两个粒子的湮灭算符a(0) 和b(0) ,近视界的散射效应翻译成了一个随着时间增加的对易子。事实上, 以一个普适因子指数增加。 这是一个边界动力学可能是混沌的信号,一个单粒子算符“扩散” 并演化成一个复杂的多粒子算符,它会慢慢的和越来越多的单粒子算符有非平庸的对易子。对易子增加是通过非时序关联函数(OTOC)刻画的。因子为的指数增长实际上在所有的量子系统中是最大的,因此全息理论不只需要是混沌的,而且还是最大混沌的。一个具有最大混沌的精确模型最近被提出并广泛研究,它叫做Sachdev-Ye-Kitaev模型。

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图5:两个粒子a,b在黑洞视界附近的散射。散射振幅根据粒子b到达的时间指数增长。

算符扩散也和上面提到的QECC的性质有关。当一个量子比特扔进黑洞视界的时候,它变得越来越难以接近,因为其对应的边界扰动变的越来越非局域了。在这个意义上,我们可以说边界混沌的动力学提供了QECC用来保护体中的量子信息,藏在黑洞视界后面的信息则被保护的最好。这自然的导致了许多进一步的问题:当量子比特撞到奇点时会发生什么?如果我们可以在边界上做非局域测量,藏在视界后面的量子信息从边界处可以得到吗?如果可以,如何让这个观点和体中的因果结构以及一个跨视界光滑的几何是否自洽?与黑洞信息悖论相关的问题,还有许多有待解决,例如火墙悖论。

通向量子引力

很明显,在我们找到一个完备的量子引力理论之前还有很长的一段路要走。然而,公平的说,最近的进展已经深刻的改变了我们对于引力和时空的观点了。量子信息理论中发展而来的概念,例如纠缠熵和量子纠错,以一种基础的方式进入了关于时空的描述中。其它关于量子力学的基本方面,例如量子电路的复杂度,已经被认为在黑洞的动力学中具有引力对应。我们的目标是精确的描述时空几何和引力是如何从多体态的量子信息特征中演生出来的。如果我们猜想量子引力理论长什么样,依然有两种不同的可能:引力可能是完全从量子力学中演生出来的现象,这意味着量子力学是描述我们世界最本质的理论,或者,可能我们会发现为了描述AdS背景之外的引力,我们需要脱离量子力学,引力和量子力学是一个更加基础的理论的不同近似。