近日,丘成桐数学科学中心助理教授金龙与Semyon Dyatlov教授合作论文《双曲曲面上半经典测度具有全支集》(Semiclassical measures on hyperbolic surfaces have full support)在国际顶尖数学期刊《Acta Mathematica》(《数学学报》)上在线发表。该论文成果对于理解量子混沌系统具有重要的意义。著名数学家Steven Zelditch教授说,这篇论文是近十年来这方面最好的文章。


清华大学:量子混沌研究新突破-量子客


曲面或区域上的Laplace算子特征函数是量子态的简单模型,其在半经典极限下的分布情况由半经典测度描述,与对应的经典力学系统的性质有紧密的联系。负曲率曲面上的测地流是经典的混沌系统,刻画其上的半经典测度是量子混沌领域中最重要的一个问题。

Rudnick与Sarnak对此提出量子唯一遍历猜想,认为负曲率曲面上的半经典测度一定是Liouville测度,即特征函数在半经典极限下呈现一致分布。此前对于半经典测度的研究集中在得到熵的下界估计,而金龙与Dyatlov的研究论文利用被称为“分形不确定性原理”的新工具打破了这一局限。他们对于曲率为负常数的双曲曲面研究证明了半经典测度具有全支集,即半经典极限下特征函数不能完全的集中在一个子集上。

由此还可推出双曲曲面上线性Schrödinger方程可由任意非空开集控制。不同类型区域上高频特征函数的概率密度分布

 

清华大学:量子混沌研究新突破-量子客

椭圆区域的经典系统是规则的,对应的特征函数集中在部分子集上。清华大学:量子混沌研究新突破-量子客双曲区域上的经典系统是混沌的,对应的特征函数趋于一致分布

数学界影响力最大的期刊——《数学年刊》(Annals of Mathematics)、《数学新进展》(Inventiones Mathematicae)、《数学学报》(Acta Mathematica)和《美国数学会杂志》(Journal of the American Mathematical Society),被誉为数学期刊的“四大天王”。据不完全统计,新中国成立以来,在四大世界数学顶尖期刊上发表的、完全由中国内地高校和研究机构完成的论文10篇左右。近几年,经过数学家们的不断努力,发表文章数量不断增加,但是能在这些期刊发表论文仍是数学领域学者们引以为傲的事情。