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背景

Quantum key distribution (QKD) 在理论上被证明是绝对安全的,1999年 Lo-Chau 基于纠缠提纯协议的证明了 BB84 协议的安全性,2000年 Shor-Preskill 将 CSS 码用于纠缠提纯提出了更简单的证明方法。但是,Decoy state 技术之前的QKD 实验,由于使用的不是理想的单光子源,均不是真正安全的。具体来说,实验上使用较多的是激光通过衰减,得到平均光子数为 $n=1$的激光源。Alice 的激光发射的态的光子数分布服从泊松分布,光源中包含了多光子的成分。Eve 就可以通过分离光子数,将单光子部分的态丢掉,将多光子部分的部分光子保留在自己手中,剩下的部分发送给 Bob。在后面 Alice 和 Bob 公开信息的时候,Eve 就可以在不引起任何错误的情况下,获得 Alice 和 Bob 分发的密钥。这种攻击就是典型的分离光子数攻击(Photon-number splitting, 简称 PNS 攻击)。

Decoy state 技术

为了应对 PNS 攻击,多伦多大学的 Hoi-Kwong Lo, Xiongfeng Ma 和 Kai Chen 在2004年的一篇文章《Decoy State Quantum Key Distribution》中,用 Decoy state (诱骗态)技术解决了这一问题,从此 QKD 便走向了实用化之路。关于 Decoy state 技术的思想的更多的介绍,参考量子客的另一篇文章《经典量子密钥分发 (QKD) 协议介绍 (4) — 诱骗态协议》。

Decoy state 之 weak coherent state 相位随机化-量子客
Fig.1 相位随机化的弱相干态

相位随机化

根据前面的介绍,QKD实验上采用的光源是激光衰减得到的弱相干光源。数学上,特定的整体相位 $\theta$ 的弱相干光的量子态表示为:$$|e^{i\theta}\sqrt{\mu}\rangle=e^{-\frac{\mu}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(e^{i\theta}\sqrt{\mu})^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle.$$ 其中,$\mu$ 表示的是平均光子数(或亮度)。当整体相位 $\theta$ 完全随机化之后,Alice 发送的是一个关于 $\theta$ 的一个混态 $$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|e^{i\theta}\sqrt{\mu}\rangle\langle e^{i\theta}\sqrt{\mu}| d\theta.$$ 这样一个态如果用粒子数态表示为

\begin{equation} \begin{aligned}  \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|e^{i\theta}\sqrt{\mu}\rangle\langle e^{i\theta}\sqrt{\mu}| d\theta &=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{-\mu} \sum_{n,m=0}^{\infty}\frac{\sqrt{\mu}^{n+m}}{\sqrt{n!m!}}|n\rangle \langle m|e^{i(n-m)\theta}d \theta, \\ &= e^{-\mu} \sum_{n,m=0}^{\infty}\frac{\sqrt{\mu}^{n+m}}{\sqrt{n!m!}}|n\rangle \langle m|\delta_{n,m}, \\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{-\mu}\mu^n}{n!}|n\rangle\langle n|,\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}P_n|n\rangle\langle n|.\end{aligned}\end{equation}

其中,$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} e^{i(n-m)\theta}d \theta = \delta_{n,m}$ 表示的是 Dirac $\delta$ function, $P_n=\frac{e^{-\mu}\mu^n}{n!}$ 表示的是$n$ 光子态的概率分布。

如图 Fig.1 所示,在接收方 Bob 看来,这样相位随机化的弱相干态是不同的光子数态的一个混合态。实验上相位随机化并不难获得,QKD 的通讯方 Alice 和 Bob 可以通过添加不同平均光子数的诱骗态,可以估计 Eve 窃听的信息,和计算成码率所需要的参数。

总结

Decoy state 技术应用到 QKD 上是QKD实用化发展的基石。Decoy state QKD 中的 signal state 和 decoy state 都是相位随机化的弱相干态,只是平均光子数$\mu$和$\mu_{decoy}$的区别。Eve 无法区分自己获得的粒子数态是 signal state 还是 decoy state 的, 这保证了 QKD 的安全性。

 

作者注:本文整理的相关文献已经添加链接,需要的读者可根据链接下载。图片为作者制作,并已授权Qtumist (量子客) 刊登。