纯态的波函数可以被测量么？

波函数是什么？学过量子力学的朋友应该都知道，波函数只是粒子运动“轨迹”分布的一种函数，其分布的的稀疏，由波函数前面系数模方来表征。那么好奇的朋友会问道，波函数到底是不是可观测量，能不能被测量出来？

很显然对于非可观测的量，是必然不能观测的。然而对于波函数如果，我们不考虑这个波函数的全局相位，其实这个波函数是可以被测量的出来的。这里我们需要一点点技巧和实验背景。对于一个单比特的波函数 $$|\psi\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$$
(1-0),(特别注意的是a和b都是复数)如果想直接测出 $|a|^{2}$ 和 $|b|^{2}$（1-1）是显然不可能。但是我们知道，一个态也即一个波函数还可以写成密度矩阵的形式：
$$\rho=|\psi\rangle \langle\psi|$$
（1-2）。一个波函数如公式（1-0）所示，在布洛赫球坐标下，我们可以改写为

$ |\psi >=cos\frac{\theta }{2} |0>+e^{i\varphi }sin\frac{\theta }{2}|1> $
(1-3)。此式子是忽略了全局相位的基础上进行简化的，我们知道对于一个波函数，在前系数整体乘以一个数字之后表示的波函数是同一个波函数（这个数字可以是复数）。所以我们可以把（1-0）式子中波函数的四个自由度化简为两个自由度（1-3）。此时可以利用quantum tomography (量子层析)进行测量这个密度矩阵的矩阵元。然后利用纯态波函数的性质进行反推出原始波函数狄拉克符号形式（1-3）式子形式，前提是在我们忽略了全局相位基础上才成立。具体的理论推导如下：$\rho =\big(\begin{bmatrix}
& \\ \rho _{11} &\rho_{r}^{12}+i\rho _{i}^{12}\\
* & \rho_{22}
\end{bmatrix}\bigr) \\
=|\psi >< \psi|\\
=\begin{bmatrix}
A_{r}^{2} +A_{i}^{2}& (A_{r}+iA_{i})(B_{r}-iB_{i})\\
* & B_{r}^{2}+B_{i}^{2}
\end{bmatrix} $(1-3)

利用密度矩阵保迹性我们可以得到，$$tr(\rho)=1$$和$$tr(\rho^2)=1$$和归一化条件，$$|a|^{2}+|b|^{2}=1$$和密度矩阵的幺正性。可以得到四个方程(1-4)，联立四个方程便可以求出四个未知数。这样的话一个波函数便可以被“测量”。

$\rho _{11}=A_{r}^{2}+A_{i}^{2}\\
\rho _{22}=B_{r}^{2}+B_{i}^{2}\\
\rho _{12}^{r}=A_{r}B_{i}+A_{i}B_{r}\\
\rho _{12}^{i}=A_{i}B_{r}-A_{r}B_{i} $

(1-4)

不过此处的测量，只是在忽略全局相位基础下，得到的结果。

量子猪量子达人

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