在阅读该页内容之前,我们向量子计算的开创者费曼和Deutsch致敬,同时向三位量子信息学的奠基人Charles H. Bennett, David Deutsch, Peter Shor表示敬意.
问题：
Let $ v$ be any real, three-dimensional unit vector and $θ$ a real number. Prove that $ \exp (i \theta \vec{v} \cdot \vec{\sigma})=\cos (\theta) I+i \sin (\theta) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} $, (2.58)
where $ \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \equiv \sum_{i=1}^{3} v_{i} \sigma_{i} $.
This exercise is generalized in Problem 2.1 on page 117.
$Pauli$矩阵的指数
令$ v$是三维单位实向量，$θ$为一实数，证明等式 $ \exp (i \theta \vec{v} \cdot \vec{\sigma})=\cos (\theta) I+i \sin (\theta) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} $；
其中$ \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \equiv \sum_{i=1}^{3} v_{i} \sigma_{i} $;
解答
参考题解参考 2.40:
$ \exp (i \theta (v_{1} \sigma_{1}+v_{2} \sigma_{2}+v_{3} \sigma_{3}))=\cos (\theta) I+i \sin (\theta) (v_{1} \sigma_{1}+v_{2} \sigma_{2}+v_{3} \sigma_{3}) $；
$(v_{1} \sigma_{1}+v_{2} \sigma_{2}+v_{3} \sigma_{3})=\left(\begin{array}{cc}v_{3} & v_{1}-i v_{2} \\ v_{1}+i v_{2} & -v_{3}\end{array}\right)$;
$ (\vec{a} \cdot \vec{\sigma})=\sum_{i j} a_{i} \sigma_{i} b_{j} \sigma_{j}=\sum_{i j} a_{i} b_{j} \delta_{i j} I+i \vec{\sigma} \cdot(\vec{a} \times \vec{b}) $;
有$ (\vec{v} \cdot \vec{\sigma})^{2 n}=I $; $ (\vec{v} \cdot \vec{\sigma})^{2 n+1}=\vec{v} \cdot \vec{\sigma} $;
$ \exp (i \theta \vec{v} \cdot \vec{\sigma})$
$=\sum \frac{(-1)^{n}(\theta \vec{v} \cdot \vec{\sigma})^{2 n}}{(2 n) !}+i \sum \frac{(-1)^{n}(\theta \vec{v} \cdot \vec{\sigma})^{2 n+1}}{(2 n+1) !}$
$=\sum \frac{(-1)^{n} \theta^{2 n}}{(2 n) !}+i(\vec{v} \cdot \vec{\sigma}) \sum \frac{(-1)^{n} \theta^{2 n+1}}{(2 n+1) !} $
$ =\cos (\theta)+i \sin (\theta)(\vec{v} \cdot \vec{\sigma}) $.
参考
[1]www.qtumist.com
参与者
作者：HKL, W65
贡献者:Dingyan, Wjw,Wxw
