在阅读该页内容之前,我们向量子计算的开创者费曼和Deutsch致敬,同时向三位量子信息学的奠基人Charles H. Bennett, David Deutsch, Peter Shor表示敬意.
问题：
Show that a positive operator is necessarily Hermitian. (Hint: Show that an arbitrary operator A can be written A = B + iC where B and C are Hermitian.)
正定算子的Hermitian的性质探究
解答
将正定算子$A$等价看做$B+iC$的形式（将矩阵元素分成实部与虚部看待），
其中$B,C$都是实矩阵，于是有等式$$ B=\frac{1}{2}\left(A+A^{\dagger}\right), C=\frac{-i}{2}\left(A-A^{\dagger}\right) .$$
这两个算子有等式$$ B|v_{i}\rangle=\lambda_{i}|v_{i}\rangle , C|w_{i}\rangle=\mu_{i}|w_{i}\rangle .$$
而且上式与$A$的特征值有一个一一对应的关系，
即$\lambda=\lambda_{i}+i\mu_{i}$.
要使正定算子的特征值全为实数，则虚部$\mu_{i}=0$,反推得$C=O$.
参考
[1]www.qtumist.com
参与者
作者：HKL, W65
贡献者:Dingyan, Wjw,Wxw
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