在阅读该页内容之前,我们向量子计算的开创者费曼和Deutsch致敬,同时向三位量子信息学的奠基人Charles H. Bennett, David Deutsch, Peter Shor表示敬意.
问题：
Repeat the proof of the spectral decomposition in Box 2.2 for the case when M is Hermitian, simplifying the proof wherever possible.
当$M$是Hermitian的，用谱分解方法证明（其有对角表示）并简化过程.
解答
Hermitian算子的对角化：方法与过程是相似的，可以简化的理由是算子$M$的自伴随性质，故$QMQ$的正规性立即可得.
用数学归纳法，方阵维度=1时显然成立：
方阵维度$\geq2$时，考虑其中一个特征值$\lambda$的特征空间对应的投影算子$P$，以及对应的正交补空间对应的投影算子$Q$,这里$Q^2 = Q$于是算子
$$M = (P + Q)M(P + Q) = PMP + QMP + PMQ + QMQ.$$
其中
$$PMP = λP，QMP =PMQ= 0,$$
则$$M = PMP + QMQ=λP+QMQ.$$
下面我们证明$QMQ$是正规的,
$$(QMQ)^{\dagger}=QMQ.$$
由归纳法对$Q$再次利用上面的方法，
在有限步下最终推出$ M=\sum_{i} \lambda_{i} P_{i} $,
即$ M=\sum_{i} \lambda_{i}|i\rangle\langle i| $.
参考
[1]www.qtumist.com
参与者
作者：HKL, W65
贡献者:Dingyan, Wjw,Wxw
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