在阅读该页内容之前,我们向量子计算的开创者费曼和Deutsch致敬,同时向三位量子信息学的奠基人Charles H. Bennett, David Deutsch, Peter Shor表示敬意.
问题：
If $|w\rangle$ and $|v\rangle$ are any two vectors, show that$(|w\rangle\langle v|)^{\dagger}=|v\rangle\langle w|$.
对两个任意的向量，证明$(|w\rangle\langle v|)^{\dagger}=|v\rangle\langle w|$.
解答
不妨令$$\left|w\right\rangle=(w_{1},……,w_{n}).$$
$$\left|v\right\rangle=(v_{1},……,v_{n}).$$
则
$$|w\rangle\langle v|=\left[\begin{array}{cccc}
v_{1}^* w_{1} & v_{1}^* w_{2} & \cdots & v_{1}^* w_{n} \\
v_{2}^* w_{1} & v_{2}^* w_{2} & & v_{2}^* w_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
v_{n}^* w_{1} & v_{n}^* w_{2} & \cdots & v_{n}^* w_{n}
\end{array}\right].$$
$$ (|w\rangle\langle v|)^{\dagger}=\left[\begin{array}{cccc}
v_{1} w_{1}^* & v_{2} w_{1}^* & \cdots & v_{n} w_{1}^* \\
v_{1} w_{2}^* & v_{2} w_{2}^* & & v_{n} w_{2}^* \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
v_{1} w_{n}^* & v_{2} w_{n}^* & \cdots & v_{n} w_{n}^*
\end{array}\right].$$
$$|v\rangle\langle w|=\left[\begin{array}{cccc}w_{1}^{*} v_{1} & w_{1}^{*} v_{2} & \cdots & w_{1}^{*} v_{n} \\ w_{2}^{*} v_{1} & w_{2}^{*} v_{2} & & w_{2}^{*} v_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ w_{n}^{*} v_{1} & w_{n}^{*} v_{2} & \cdots & w_{n}^{*} v_{n}\end{array}\right].$$
故等式成立.
参考
[1]www.qtumist.com
参与者
作者：HKL, W65
贡献者:Dingyan, Wjw,Wxw
