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在阅读该页内容之前,我们向量子计算的开创者费曼和Deutsch致敬,同时向三位量子信息学的奠基人Charles H. Bennett, David Deutsch, Peter Shor表示敬意.

问题：

Suppose $|v_{i}\rangle$ is an orthonormal basis for an inner product space $V $. What is the matrix representation for the operator $|v_{j}\rangle\langle v_{k}|$, with respect to the $|v_{i}\rangle$ basis?

令$|v_{i}\rangle$是內积空间 $V$上的标准正交基，在这组基上的算子$|v_{j}\rangle\langle v_{k}|$的矩阵表示是什么？

解答

这里我们把算子看做是两个向量表示的外积形式,

由

$$A=I_{W} A I_{V}=\sum_{i j}\left|w_{j}\right\rangle\left\langle w_{j}|A| v_{i}\right\rangle\left\langle v_{i}\right|=\sum_{i j}\left\langle w_{j}|A| v_{i}\right\rangle\left|w_{j}\right\rangle\left\langle v_{i}\right|.$$

矩阵元素分布为第$i$行第$j$列元素为1，其余元素全为0.