在阅读该页内容之前,我们向量子计算的开创者费曼和Deutsch致敬,同时向三位量子信息学的奠基人Charles H. Bennett, David Deutsch, Peter Shor表示敬意.
问题：
Suppose $A$ is a linear operator from vector space $V$ to vector space $W$, and $B$ is a linear operator from vector space $W$ to vector space $X$. Let $|v_{i}\rangle, |w_{i}\rangle$ , and $|x_{k}\rangle$ be bases for the vector spaces $V, W$, and $X$, respectively. Show that the matrix representation for the linear transformation $BA$ is the matrix product of the matrix representations for $B$ and$A$, with respect to the appropriate bases.
令$A$是从空间$V$ 到空间$W$ 的一个线性算子,$B$是从空间$ W$ 到空间$X$ 的一个线性算子, $|v_{i}\rangle, |w_{j}\rangle$ 和 $|x_{k}\rangle$ 分别是它们的基向量,说明$BA$ 是在这些基的表示下由$B$ 和$A$ 组成的线性算子.
解答
基变换表达式为$$\left.A | v_{i}\right\rangle=\sum_{j} a_{i j}\left|w_{j}\right\rangle$$ 和$$\left.B | w_{j}\right\rangle=\sum_{k} b_{j k}\left|x_{k}\right\rangle.$$
将两式联立$$B\left(A \mid v_{i}\rangle\right)=B\left(\sum_{j} a_{i j}\left|w_{j}\right\rangle\right)=\sum_{j} a_{i j}\left(B\left|w_{j}\right\rangle\right)=\sum_{j} a_{i j}\left(\sum_{k} b_{j k}\left|x_{k}\right\rangle\right)=\sum_{j k} a_{i j} b_{j k}\left|x_{k}\right\rangle.$$
令$$\left.(BA) | v_{i}\right\rangle=B\left(A \mid v_{i}\rangle\right),$$我们就赋予了$BA$的实际意义,即联立得到从$ V$ 到$ X$ 的基变换表达式，且是由算子$A$和算子$B$组合表达出来的，故这个新的基变换的矩阵表示式为$ BA$ .
注意：有限多个算子的符合可以通过上面的方法得出！
参考
[1]www.qtumist.com
参与者
作者：HKL, W65
贡献者:Dingyan, Wjw,Wxw
