
在阅读该页内容之前,我们向量子计算的开创者费曼和Deutsch致敬,同时向三位量子信息学的奠基人Charles H. Bennett, David Deutsch, Peter Shor表示敬意,以及本书的作者Nielsen & Chuang表示敬意.
问题:
Show that $(1,−1),(1,2)$ and $(2,1)$ are linearly dependent.
说明$(1,-1),(1,2),(2,1)$这三个向量是线性相关的.
解答:
参考解答一
在二维空间中,三个向量必定是线性相关的,
在$n$维空间中,任意个数大于$n$的向量组一定具有线性相关的性质.
参考解答二
构造等式$$a(1,-1)+b(1,2)+c(2,1)=(0,0)$$
方程组表示为
$$\begin{cases} 1a+1b+2c=0\\-a+2b+1c=0\\\end{cases}. $$
该方程组的解集为(a,a,-a),有非零解,故这三个向量是线性相关的,
二维三元一次方程组的解的集合是一条直线,故定有非零解.
参考解答三
解取$a_1=1,a_2=1,a_3=-1$时,显然有:$(1,-1)+(1,2)-(2,1)=0$,所以$(1,-1),(1,2)$和$(2,1)$线性相关.

Tips:
上面的三个解答是相互关联的,也可以将上述三个解答看作为一个完整的解答;解答一直接从概念的必要性角度说明习题的结果,解答二本质上是对必要性的直接证明,解答一和二是等价的,解答三是在解集上取了一个特殊解,从存在性的角度说明解答结果.
参考:
[1]《Quantum Computation and Quantum Information》10th Anniversary Edition,Michael A. Nielsen & Isaac L. Chuang
[2]《量子计算和量子信息(一)—— 量子计算部分》东南大学出版社,陈汉武
[3]https://workedproblems.wordpress.com
参与者
作者:HKL,W65,Dingyan
贡献者:空缺
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