在阅读该页内容之前,我们向量子计算的开创者费曼和Deutsch致敬，同时向三位量子信息学的奠基人Charles H. Bennett, David Deutsch, Peter Shor表示敬意，以及本书的作者Nielsen & Chuang表示敬意.

问题：

Show that $(1,−1),(1,2)$ and $(2,1)$ are linearly dependent​.

说明$(1,-1),(1,2),(2,1)$这三个向量是线性相关的.

参考解答一

在二维空间中,三个向量必定是线性相关的,

在$n$维空间中，任意个数大于$n$的向量组一定具有线性相关的性质.

参考解答二

构造等式$$a(1,-1)+b(1,2)+c(2,1)=(0,0)$$

方程组表示为

$$\begin{cases} 1a+1b+2c=0\\-a+2b+1c=0\\\end{cases}. $$

该方程组的解集为(a,a,-a),有非零解，故这三个向量是线性相关的,

二维三元一次方程组的解的集合是一条直线，故定有非零解.

参考解答三

解取$a_1=1,a_2=1,a_3=-1$时，显然有:$(1,-1)+(1,2)-(2,1)=0$,所以$(1,-1),(1,2)$和$(2,1)$线性相关.

Tips:

上面的三个解答是相互关联的，也可以将上述三个解答看作为一个完整的解答；解答一直接从概念的必要性角度说明习题的结果，解答二本质上是对必要性的直接证明，解答一和二是等价的，解答三是在解集上取了一个特殊解，从存在性的角度说明解答结果.

参考：

[1]《Quantum Computation and Quantum Information》10th Anniversary Edition，Michael A. Nielsen & Isaac L. Chuang

[2]《量子计算和量子信息（一）—— 量子计算部分》东南大学出版社，陈汉武

[3]https://workedproblems.wordpress.com

参与者

作者：HKL，W65，Dingyan

贡献者：空缺

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