在阅读该页内容之前,我们向量子计算的开创者费曼和Deutsch致敬,同时向三位量子信息学的奠基人Charles H. Bennett, David Deutsch, Peter Shor表示敬意,以及本书的作者Nielsen & Chuang表示敬意.

问题:

Show that $(1,−1),(1,2)$ and $(2,1)$ are linearly dependent​.

说明$(1,-1),(1,2),(2,1)$这三个向量是线性相关的.

解答:

参考解答一

在二维空间中,三个向量必定是线性相关的,

在$n$维空间中,任意个数大于$n$的向量组一定具有线性相关的性质.

参考解答二

构造等式$$a(1,-1)+b(1,2)+c(2,1)=(0,0)$$

方程组表示为

$$\begin{cases} 1a+1b+2c=0\\-a+2b+1c=0\\\end{cases}. $$

该方程组的解集为(a,a,-a),有非零解,故这三个向量是线性相关的,

二维三元一次方程组的解的集合是一条直线,故定有非零解.

参考解答三

解取$a_1=1,a_2=1,a_3=-1$时,显然有:$(1,-1)+(1,2)-(2,1)=0$,所以$(1,-1),(1,2)$和$(2,1)$线性相关.

Tips:

上面的三个解答是相互关联的,也可以将上述三个解答看作为一个完整的解答;解答一直接从概念的必要性角度说明习题的结果,解答二本质上是对必要性的直接证明,解答一和二是等价的,解答三是在解集上取了一个特殊解,从存在性的角度说明解答结果.

参考:

[1]《Quantum Computation and Quantum Information》10th Anniversary Edition,Michael A. Nielsen & Isaac L. Chuang

[2]《量子计算和量子信息(一)—— 量子计算部分》东南大学出版社,陈汉武

[3]https://workedproblems.wordpress.com

参与者

作者:HKL,W65,Dingyan

贡献者:空缺

欢迎大家对习题解答提出自己宝贵的意见,优秀的解答将会被我们采纳并署名放置在这里,期待你们的加入!

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