量子不可克隆证明及推理

量子的世界不同于经典的世界，经典的世界复印机可以复印相同的一份文件，但是在量子世界却不存在。————Donald knuth

首先我们假设：在量子信息中给出Cloning Machine的定义：克隆机器是满足某种操作的幺正变换U：这种变换为：$U(|\phi\rangle\otimes|0\rangle)=|\phi\rangle\otimes|\phi\rangle\qquad$     （1.0）

上式中$|\phi \rangle$为任意态。

不可克隆定理：不存在上述的Cloning machine.

证明：为了方便起见，我们处理两维的希尔伯特空间。如公式（1.0）所示，我令空白比特为$|0\rangle$,目标比特为$|0\rangle$或者$|1\rangle$，copy machine要满足一下关系：

$$U|0\rangle\otimes|0\rangle=|0\rangle\otimes|0\rangle$$

$$U|1\rangle\otimes|0\rangle=|1\rangle\otimes|1\rangle$$

对任意的$|\phi\rangle \in \mathcal{H}$,我们有归一化条件：

$$|\phi\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$$

其中满足;$|a|^{2}+|b|^{2}=1$

我们可以得到：

$U| \phi \rangle \otimes| 0 \rangle =U(a|0\rangle+b|1\rangle)\otimes|0\rangle$

             $=aU |0 \rangle \otimes|0\rangle+bU|1\rangle\otimes|0\rangle $

                    $ = a |0 \rangle \otimes|0\rangle+bU|1\rangle\otimes|1\rangle.$                                         （1.1）

i.e：      $U|\phi \rangle\otimes|0\rangle=a|0\rangle\otimes|0\rangle+b|1\rangle\otimes|1\rangle$

但是根据公式（1.0）中copy machine定义，则有：

$U|\phi\rangle\otimes|0\rangle =|\phi\rangle\otimes\phi\rangle $

      $=(a|0\rangle+b|1\rangle)\otimes(a|0\rangle+b|1\rangle)$

      $=a^{2}|0\rangle\otimes|0\rangle+b^{2}|1\rangle\otimes|1\rangle+ab|0\rangle\otimes|1\rangle+ab|1\rangle\otimes|0\rangle$  (1.2)

通过比较我们可以发现，公式（1.1）和公式（1.2）互相矛盾，所以对任意的${\forall}|\phi\rangle\in \mathcal{H}$,并不存在这样的一个cloning machine。感兴趣的朋友，可以参考W.K.Wootters 和W.H.Zurek于1982年发表的A single quantum cannot be cloned的文章。

参考资料：

[1].MichaelA.Nielsen, IsaacL, Chuang,等. 量子计算量子信息:量子计算部分[M]. 清华大学出版社, 2004.

[2].Wootters W K, Zurek W H. A single quantum cannot be cloned[J]. Nature, 1982, 299(5886):802-803.

本文由量客专栏作者 Peter  撰稿  未经授权谢绝转载

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