量子的世界不同于经典的世界,经典的世界复印机可以复印相同的一份文件,但是在量子世界却不存在。————Donald knuth
首先我们假设:在量子信息中给出Cloning Machine的定义:克隆机器是满足某种操作的幺正变换U:这种变换为:$U(|\phi\rangle\otimes|0\rangle)=|\phi\rangle\otimes|\phi\rangle\qquad$ (1.0)
上式中$|\phi \rangle$为任意态。
不可克隆定理:不存在上述的Cloning machine.
证明:为了方便起见,我们处理两维的希尔伯特空间。如公式(1.0)所示,我令空白比特为$|0\rangle$,目标比特为$|0\rangle$或者$|1\rangle$,copy machine要满足一下关系:
$$U|0\rangle\otimes|0\rangle=|0\rangle\otimes|0\rangle$$
$$U|1\rangle\otimes|0\rangle=|1\rangle\otimes|1\rangle$$
对任意的$|\phi\rangle \in \mathcal{H}$,我们有归一化条件:
$$|\phi\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$$
其中满足;$|a|^{2}+|b|^{2}=1$
我们可以得到:
$U| \phi \rangle \otimes| 0 \rangle =U(a|0\rangle+b|1\rangle)\otimes|0\rangle$
$=aU |0 \rangle \otimes|0\rangle+bU|1\rangle\otimes|0\rangle $
$ = a |0 \rangle \otimes|0\rangle+bU|1\rangle\otimes|1\rangle.$ (1.1)
i.e: $U|\phi \rangle\otimes|0\rangle=a|0\rangle\otimes|0\rangle+b|1\rangle\otimes|1\rangle$
但是根据公式(1.0)中copy machine定义,则有:
$U|\phi\rangle\otimes|0\rangle =|\phi\rangle\otimes\phi\rangle $
$=(a|0\rangle+b|1\rangle)\otimes(a|0\rangle+b|1\rangle)$
$=a^{2}|0\rangle\otimes|0\rangle+b^{2}|1\rangle\otimes|1\rangle+ab|0\rangle\otimes|1\rangle+ab|1\rangle\otimes|0\rangle$ (1.2)
通过比较我们可以发现,公式(1.1)和公式(1.2)互相矛盾,所以对任意的${\forall}|\phi\rangle\in \mathcal{H}$,并不存在这样的一个cloning machine。感兴趣的朋友,可以参考W.K.Wootters 和W.H.Zurek于1982年发表的A single quantum cannot be cloned的文章。
参考资料:
[1].MichaelA.Nielsen, IsaacL, Chuang,等. 量子计算量子信息:量子计算部分[M]. 清华大学出版社, 2004.
[2].Wootters W K, Zurek W H. A single quantum cannot be cloned[J]. Nature, 1982, 299(5886):802-803.
本文由量客专栏作者 Peter 撰稿 未经授权谢绝转载
评论(5)
很简洁,明了。
物理学,就有这样的一个特点,哈哈~
请问 1.1式子的结果,怎么就和i.e:后面的式子不一样了,少了一个U
i.e 的意思:“也即”。这就是一个化简。U作用就相当于一个copy算符,让第二态copy,变成第一个态。$bU|1\rangle\otimes|1\rangle.$就等于:$b|1\rangle\otimes|1\rangle$.
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