量子的世界不同于经典的世界,经典的世界复印机可以复印相同的一份文件,但是在量子世界却不存在。————Donald knuth

首先我们假设:在量子信息中给出Cloning Machine的定义:克隆机器是满足某种操作的幺正变换U:这种变换为:$U(|\phi\rangle\otimes|0\rangle)=|\phi\rangle\otimes|\phi\rangle\qquad$     (1.0)

上式中$|\phi \rangle$为任意态。

量子不可克隆证明及推理-量子客

不可克隆定理:不存在上述的Cloning machine.

证明:为了方便起见,我们处理两维的希尔伯特空间。如公式(1.0)所示,我令空白比特为$|0\rangle$,目标比特为$|0\rangle$或者$|1\rangle$,copy machine要满足一下关系:

$$U|0\rangle\otimes|0\rangle=|0\rangle\otimes|0\rangle$$

$$U|1\rangle\otimes|0\rangle=|1\rangle\otimes|1\rangle$$

对任意的$|\phi\rangle \in \mathcal{H}$,我们有归一化条件:

$$|\phi\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$$

其中满足;$|a|^{2}+|b|^{2}=1$

我们可以得到:

$U| \phi \rangle \otimes| 0 \rangle =U(a|0\rangle+b|1\rangle)\otimes|0\rangle$

             $=aU |0 \rangle \otimes|0\rangle+bU|1\rangle\otimes|0\rangle $

                    $ = a |0 \rangle \otimes|0\rangle+bU|1\rangle\otimes|1\rangle.$                                         (1.1)

 

i.e:      $U|\phi \rangle\otimes|0\rangle=a|0\rangle\otimes|0\rangle+b|1\rangle\otimes|1\rangle$

但是根据公式(1.0)中copy machine定义,则有:

$U|\phi\rangle\otimes|0\rangle =|\phi\rangle\otimes\phi\rangle $

      $=(a|0\rangle+b|1\rangle)\otimes(a|0\rangle+b|1\rangle)$

      $=a^{2}|0\rangle\otimes|0\rangle+b^{2}|1\rangle\otimes|1\rangle+ab|0\rangle\otimes|1\rangle+ab|1\rangle\otimes|0\rangle$  (1.2)

通过比较我们可以发现,公式(1.1)和公式(1.2)互相矛盾,所以对任意的${\forall}|\phi\rangle\in \mathcal{H}$,并不存在这样的一个cloning machine。感兴趣的朋友,可以参考W.K.Wootters 和W.H.Zurek于1982年发表的A single quantum cannot be cloned的文章。

 

参考资料:

[1].MichaelA.Nielsen, IsaacL, Chuang,等. 量子计算量子信息:量子计算部分[M]. 清华大学出版社, 2004.

[2].Wootters W K, Zurek W H. A single quantum cannot be cloned[J]. Nature, 1982, 299(5886):802-803.

本文由量客专栏作者 Peter  撰稿  未经授权谢绝转载