有时,计算机预测未来是件易如反掌的小事。一些常见的现象,例如树液如何沿着树干流动,可以用线性微分方程的几行代码来进行预测。

但在非线性系统中,相互作用对其自身也会产生影响。就像当气流经过喷气机的机翼时,气流改变了分子间的相互作用,从而改变了气流本身。

如上的这种现象会造成混乱,初始条件产生的微小变化会导致后来行为大相径庭。这种情况下,无论计算机的功能有多强大,都几乎不可能对未来进行预测。

 

非线性的“伪装”

马里兰大学量子信息研究人员Andrew Childs[2]表示,这就是为什么人们难以预测天气或复杂流体的流动行为。如果能弄懂非线性动力学,那么一些棘手的计算问题将得到解决,而这可能很快就能实现。

预测未来,新诞生的量子算法终于破解了非线性方程-量子客
图1|Andrew Childs(来源:马里兰大学)

2020年11月,一个由Andrew Childs领导的马里兰大学研究团队[3],和另一个位于麻省理工学院的研究团队[4],两组人员发明了一些强大的工具,这些工具能够让量子计算机更好地模拟非线性动力学。

量子计算机利用量子现象,比经典计算机更有效地执行某些计算,目前能够以比经典计算机快数倍的速度,推导出复杂的线性微分方程。而研究人员长期以来一直希望用量子算法,来求解非线性问题。

新方法将非线性系统加以伪装,使其更像是一个相对容易解开的线性近似集,尽管解开它们的方法其实存在很大的差异。结果就是,研究人员目前拥有两种使用量子计算机来解决非线性问题的方法。

悉尼科技大学的量子计算研究员Mária Kieferová[5]表示,这两篇论文的有趣之处在于,他们找到了一种机制,在某些假设下,他们的机制会带来高效的算法。其次令人振奋的是,两组研究都运用了非常好的技术。

 

教汽车飞行

十多年来,量子信息研究人员一直在尝试用线性方程来解开非线性微分方程。

而他们曾在2010年有过突破,现在位于麦考瑞大学的Dominic Berry,在当时建立了首个求解线性微分方程的算法,且比起经典计算机来,该算法在量子计算机上能以指数级速度进行求解。因此,Berry的研究重心很快地转移到了非线性微分方程上。

Berry本人表示,的确开展过在非线性微分方程上的研究工作,但是效率十分低下。

其中问题在于,量子计算机本身的物理基础就是线性的。麻省理工学院研究团队的论文合著者Bobak Kiani类比道,用量子计算机解决非线性问题,就像教汽车飞行一样。

 

马里兰方法

因此,关键在于以数学方式将非线性系统转化为线性系统,从而解决问题。于是,由Andrew Childs领导的团队使用了Carleman线性化方法(Carleman linearization),将非线性问题转化为线性方程组。

遗憾的是,该线性方程组中包含无数个方程式。此时,研究人员需要弄明白为了能够得到一个足够准确的近似值,他们可以从哪个部分对方程式进行删减。

麻省理工学院的等离子体物理学家,同时也是马里兰大学研究团队的论文合著者Nuno Loureiro表示,根本不确定应该从哪里删减,从10号方程还是20号?谁也说不准。

而马里兰大学的研究团队最终证明,对于一个特定范围内的非线性问题,他们使用的方法可以做到截短方程式的同时,解开方程。

 

麻省理战略

同时,麻省理工学院的研究团队采取了一种截然不同的方法,可以将任意非线性问题建模为玻色-爱因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensate)。

这是一种物质状态,在这种状态下,超冷粒子群中的相互作用,使得每个单独粒子的行为完全一致。

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图2|玻色-爱因斯坦凝聚(来源:NIST)

由于粒子都是互连的,所以每个粒子的行为都影响着其余的粒子,最终再以非线性的环路特征反馈回该粒子

麻省理工学院的研究团队利用玻色-爱因斯坦的数学方法,在量子计算机上模拟了这种非线性现象,将线性和非线性联系起来。

因此,通过为每个非线性问题量身定制的伪玻色-爱因斯坦凝聚,此算法得出了一个可靠的线性近似值。

一些没有参与到研究中的其他学者表示,用玻色-爱因斯坦凝聚来模拟非线性微分方程的想法令人十分振奋。而尽管这两篇论文不尽相同,但它们都很重要。

 

知晓极限

虽然两项研究都至关重要,但它们仍是破解非线性系统的第一步,而越来越多的研究人员们也会参与分析和改善这两种方法。

上文提到的量子计算研究员Mária Kieferová表示,有了这两种算法,人类才真的是在展望未来。

可用它们来解决实际的非线性问题,还需要拥有一台极小误差和噪音的数千量子比特的量子计算机,以现在的条件来看还为时过早,且这两种算法只能处理一些较为简单的非线性问题。

马里兰大学的研究用一个新的参数R准确地量化了这种非线性的程度,即一个问题的非线性与线性的比率,也可以说是这个问题的混沌趋势与保持系统正常运行的比率。

团队领导者Andrew Childs在数学方面十分严谨,他非常清楚地表明,团队的方法什么时候可以用,什么时候不可以用。而这一点,就是其对团队研究的核心贡献。

与此同时,麻省理工学院的研究并没有严格地约束其算法的使用范围。但团队计划通过在量子计算机上进行小规模测试,来进一步了解其算法的局限性,然后再转向更具挑战性的问题。

 

敲响警钟

人们应当从这两种新技术中意识到,量子解决方案从根本上不同于经典解决方案。量子状态对应的是概率,而不是绝对值。这就意味着,之后仍然需要做大量的工作来分析这种状态。

至关重要的是,不要过度承诺量子计算机能做什么。

但在未来的5到10年内,研究者们势必会在一些实际问题上,测试诸多类似于文中的量子算法。可如果先将局限性摆在他们面前,那他们的创造力也会受到限制。

 

参考链接:

[1]https://www.quantamagazine.org/new-quantum-algorithms-finally-crack-nonlinear-equations-20210105/

[2]http://www.cs.umd.edu/~amchilds/

[3]https://arxiv.org/abs/2011.03185

[4]https://arxiv.org/abs/2011.06571

[5]https://www.mariakieferova.com/

 

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|编  辑:王嘉雯      |审  校:丁艳